Определим случайные величины
g
(
p, q
)
по формуле
g
(
p, q
) =
m
Q
i
=1
q
−
1
Q
j
=1
I
ij
!
p
Q
i
=1
I
iq
,
если
q >
1
,
p
Q
i
=1
I
iq
,
если
q
= 1
.
Обозначим
A
pq
σ
-алгебру, порожденную при
q >
1
случайными вели-
чинами
{
ε
ij
,
0
≤
i
≤
m,
0
≤
j
≤
q
−
1
} ∪ {
ε
iq
,
0
≤
i
≤
p
−
1
}
,
а при
q
= 1
случайными величинами
{
ε
iq
,
1
≤
i
≤
p
−
1
}
.
Так как
g
(
p
−
1
, q
)
измерима относительно
A
pq
, а
ε
pq
и
A
pq
независимы,
по формуле полного математического ожидания
E
g
(
p, q
) =
E
[
g
(
p
−
1
, q
)
I
pq
] =
=
E
g
(
p
−
1
, q
)
1 +
s
pq
2
−
s
pq
I
(
ε
pq
<
−
a
10
X
p
−
1
,q
) =
=
E
g
(
p
−
1
, q
)
E
1 +
s
pq
2
−
s
pq
I
(
ε
pq
<
−
a
10
X
p
−
1
,q
)
A
pq
=
=
E
g
(
p
−
1
, q
)
1 +
s
pq
2
−
s
pq
F
(
−
a
10
X
p
−
1
,q
)
,
где при
p
= 1
по определению
g
(
p
−
1
, q
) =
g
(
m, q
−
1)
. Дальнейшее
изложение доказательства теоремы 1 опирается на две леммы.
Лемма 1.
Пусть для функции
F
(
t
)
и случайной величины
X
11
выполнены условия (2)–(4). Тогда для любых
m, n
≥
1
и для любой
ограниченной случайной величины
η
E
[
ηF
(
uX
11
)] =
1
2
E
η
+
uF
0
(0)
E
[
ηX
11
] +
o
(
u
)
,
u
→
0
,
в частности,
E
[
ηF
(
uX
11
)] =
1
2
E
η
+
o
(1)
,
u
→
0
.
Доказательство.
Из формулы Тейлора следует, что
F
(
t
)
−
F
(0)
−
F
0
(0)
t
= (
F
0
(
θt
)
−
F
0
(0))
t,
0
≤
θ
≤
1
.
Поэтому из (4) вытекает, что
E
|
ηF
(
uX
11
)
−
ηF
(0)
−
ηF
0
(0)(
uX
11
)
| ≤
≤
E
[
|
F
0
(
uX
11
θ
)
−
F
0
(0)
||
uX
11
|
] =
o
(
u
)
при
u
→
0
,
откуда с учетом (2) следует утверждение леммы.
120
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
