Основные результаты.
Обозначим
E
=
−
Z
0
−∞
tF
0
(
t
)
dt,
K
= 4
F
0
(0)
E,
z
pq
=
m
X
i
=
p
+1
n
X
j
=
q
+1
s
ij
s
i
−
p,j
−
q
, Z
pq
=
m
X
i
=
p
+1
n
X
j
=
q
+1
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
.
Теорема 1.
Пусть функция распределения случайных величин
ε
ij
удовлетворяет следующим условиям:
F
(0) = 1
/
2
, F
0
(0)
>
0;
(2)
E
(
ε
11
) = 0;
(3)
E
[
|
F
0
(
θuX
11
)
−
−
F
0
(0)
||
X
11
|
]
→
0
при
u
→
0
для любого
θ
2
(0
,
1)
.
(4)
Тогда для любых
(
p, q
)
2
B
при альтернативах
H
+
pq
,
H
−
pq
P
{
S
=
s
|
a
}
) = 2
−
mn
(1 +
Kz
pq
a
pq
) +
o
(
a
pq
)
при
a
pq
→
0
.
Доказательство теоремы 1 см. в приложении.
Замечание.
Легко видеть, что условие (4) выполнено, если суще-
ствуют такие
r
2
(0
,
1]
и
L >
0
, что
E
|
ε
11
|
1+
r
<
∞
,
|
F
0
(
t
)
−
F
0
(0)
| ≤
L
|
t
|
r
8
t
2
R
.
Действительно, в этом случае
E
[
|
F
0
(
θuX
11
)
−
F
0
(0)
||
X
11
|
]
≤
≤
E
L
|
θuX
11
|
r
|
X
11
| ≤
L
1
|
u
|
E
|
ε
11
|
1+
r
→
0
при
u
→
0
.
В частности, теорема 1 может быть справедлива для поля
X
ij
с беско-
нечной дисперсией.
Теорема 2.
Пусть выполнены условия (2)–(4). Тогда:
1)
H
0
отклоняется в пользу
H
+
pq
на уровне значимости
α
, если
Z
pq
> C
, и принимается в противном случае; постоянная
C
находится
из условия
P
{
Z
pq
> C
}
=
α
при
H
0
,
(
p, q
)
2
B
;
2)
H
0
отклоняется в пользу
H
−
pq
на уровне значимости
α
, если
Z
pq
< C
, и принимается в противном случае; постоянная
C
находится
из условия
P
{
Z
pq
< C
}
=
α
при
H
0
,
(
p, q
)
2
B
.
Доказательство.
Так как при
H
0
случайные величины
X
ij
неза-
висимы и одинаково распределены, то
P
{
S
=
s
}
= 2
−
mn
для любой
s
2
S
. Поэтому
Q
будет состоять из тех
s
, в которых
∂
P
{
S
=
s
|
a
}
∂a
pq
принимает наибольшие значения для
H
+
pq
и наименьшие для
H
−
pq
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
117
