капли, принадлежат Рэлею, однако неустойчивость плоской поверхно-
сти проводящей жидкости в сильном электрическом поле [2], перпен-
дикулярном невозмущенной поверхности, исследовалась Френкелем и
Тонксом в 1935–1936 гг.
Исследование особенностей поведения решений алгебраических
уравнений (к таковым в ряде случаев приводимы дисперсионные урав-
нения) восходит своими корнями к работам Пуанкаре [3], однако в
решениях дисперсионных уравнений волн на поверхности жидкости
бифуркационные особенности были обнаружены значительно позд-
нее. Даже в линейной постановке исследование волновых движений
привело к нетривиальным результатам, таким, как бифуркационное
ветвление коэффициента затухания капиллярных волн [4] и относи-
тельно длинных волн на поверхности проводящей жидкости в элек-
трическом поле [5].
В настоящей работе проанализировано влияние факторов неустой-
чивости Кельвина–Гельмгольца (фоновое движение верхней жидко-
сти), Френкеля–Тонкса (поверхностный заряд на границе раздела) и
Рэлея–Тейлора (соотношение плотностей верхней и нижней жидко-
стей) на решение дисперсионного уравнения волн малой амплитуды
на границе раздела двух сред.
Расщепление спектра волн на поверхности раздела движущих-
ся сред.
Рассмотрим две несмешивающиеся несжимаемые
жидкости различной плотности, занимающие верхнее и нижнее по-
лупространства. Нижняя жидкость — вязкая и проводящая электри-
ческий ток, верхняя — идеальная и диэлектрик, движется с некото-
рой фоновой скоростью относительно нижней, а к невозмущенной
поверхности раздела приложено внешнее ортогональное к границе
электрическое поле. Дисперсионное уравнение, описывающее распро-
странение волн малой амплитуды на описанной поверхности раздела
между двумя средами, имеет вид [6]
2
−
iω
νk
2
2
+
α
iω
νk
2
−
iU
νk
2
+ Ω (
k
) = 4
r
1
−
iω
νk
2
;
(1)
Re
r
1
−
iω
νk
2
>
0;
Ω (
k
) =
γk
2
−
4
πσ
2
|
k
|
+ (1
−
α
)
ρg
ρν
2
k
3
, α
=
ρ
0
ρ
,
где
ω
,
k
— комплексная частота и волновое число;
ν
— кинематическая
вязкость нижней жидкости;
U
— горизонтальная проекция скорости
верхней жидкости на большом расстоянии от границы раздела;
γ
—
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
29
