В целом структура решения для
α <
1
аналогична случаю
α
= 0
[4, 5] с предельным коэффициентом затухания длинных волн
˜
β
= 2/(1 +
α
)
. В точке бифуркации
Ω
пара колебательных мод пе-
реходит в две апериодические моды, при
Ω = 0
одна апериодическая
мода становится неустойчивой. В силу особенностей функции
Ω (
k
)
при
α <
1
точка бифуркации
Ω
может быть достигнута 3 раза, в связи
с чем помимо бифуркации, связанной с апериодическим затуханием
капиллярных волн [4], возможна петлеобразная структура коэффици-
ента затухания [5]. При
α
= 1
спектр волн вырождается и решающую
роль начинает играть даже малый заряд на границе раздела. При
F
= 0
для длинных волн
Ω (
k
)
→
+
∞
, функция
Ω (
k
)
монотонно стремится
к нулю с увеличением
k
, один раз проходя значение
Ω
, в котором две
периодические моды становятся апериодически затухающими [4].
При
F
6
= 0
для длинных волн
Ω (
k
)
→ −∞
, характерно появление
максимума, после которого
Ω (
k
)
монотонно убывает до нуля с увели-
чением
k
. Достижение значения
Ω
возможно 2 раза: длинноволновые
возмущения становятся неустойчивыми, а в коротковолновом диапазо-
не происходит слияние двух колебательных мод с образованием двух
апериодических мод. Однако при недостаточном поверхностном на-
тяжении значение
Ω
возможно, не будет достигнуто ни разу, тогда
бифуркации решения не происходит вовсе.
Случай
α >
1
не отличается принципиальным образом от случая
α
= 1
,
F
6
= 0
: электрическое поле выступает дестабилизирующим фак-
тором и приводит к возникновению неустойчивости на более коротких
длинах волн, чем в случае капиллярно-гравитационной неустойчиво-
сти Рэлея–Тейлора.
Заключение.
Проведенный анализ показал, что факторы Кельвина–
Гельмгольца и Рэлея–Тэйлора оказывают значительное влияние на
структуру решения дисперсионного уравнения волн малой амплитуды
на границе раздела двух сред. Фоновое движение верхней жидкости
приводит к устранению точек бифуркации решений дисперсионного
уравнения, а также к расщеплению колебательных мод. Найденное
параметрическое представление (6)–(7) дисперсионного уравнения (1)
в случае покоящейся верхней жидкости позволяет провести полный
качественный анализ особенностей решений для различных спектров
волн.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Гидродинамика. – М.: Физматлит, 2003. –
736 с.
2. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Электродинамика сплошных сред. – М.:
Физматлит, 2003. – 656 с.
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
