сводится к квадратичной форме дифференциалов координат. На существование та-
ких пространств обратил внимание еще Риман в своей знаменитой лекции “О гипо-
тезах, лежащих в основании геометрии”. Однако только 50 лет спустя в диссерта-
ции Финслера были сделаны первые шаги по их систематическому изучению. Впо-
следствии благодаря исследованиям Синга, Вагнера, Бервальда, Картана, Буземана,
Рунда, Матсумото и других финслерова геометрия приобрела статус самостоятель-
ной ветви дифференциальной геометрии. С современной точки зрения классическая
финслерова геометрия есть геометрия векторных расслоений над многообразиями.
Однако возможен и принципиально иной подход, во всяком случае в отношении
некоторых финслеровых пространств, в том числе и для пространства с метрикой
Бервальда–Моора. Концептуально этот подход был изложен еще в знаменитой Эр-
лангенской программе Феликса Клейна. Согласно его идее, гeометрии — это не что
иное, как следствия конкретных наборов групп симметрий.
В последующем программа Клейна потеряла свою актуальность из-за того, что
широко используемая псевдориманова геометрия пространства-времени особым раз-
нообразием непрерывных симметрий не отличалась. Но, возможно, вновь наступает
время вернуть симметриям их фундаментальную роль, причем не только на локаль-
ном, но и на глобальном уровне. Если это удастся в модифицированной на основе
финслеровой геометрии теории гравитации и электромагнетизма, известные пробле-
мы ОТО с глобальными законами сохранения будут решены.
До недавнего времени попытки использовать формализм финслеровой диффе-
ренциальной геометрии в теоретической физике носили лишь эпизодический харак-
тер, но в последние годы ситуация в этом отношении заметно изменилась. Помимо
таких традиционных областей, как теория анизотропных сред и лагранжева механи-
ка классическая финслерова геометрия и ее обобщения нашли широкое применение
при решении проблем оптимизации, при описании хаотических систем, в статисти-
ческой физике и термодинамике, в экологии и в теории эволюции биологических
систем, в описании внутренней симметрии адронов, в теории пространства-времени
и гравитации, а также в единых калибровочных теориях поля.
Отметим, что исторически сложились два альтернативных подхода к финслеро-
вой геометрии — Картана и Буземана. При этом в большинстве прикладных исследо-
ваний (особенно тех, которые касались структуры пространства-времени) использо-
вался картановский подход. Хотя в рамках картановского подхода сохраняется лемма
Риччи, что открывает возможность для использования аппарата финслеровой диффе-
ренциальной геометрии в теориях типа Калуцы–Клейна, сам этот подход отличается
большим разнообразием возможных структур и возникающей вследствие этого про-
блемой идентификации новых (по сравнению с римановой геометрией) элементов
структуры с физическими наблюдаемыми. Существование такой проблемы видно
уже из того, что в простейшем случае финслеров метрический тензор зависит не
только от точек основного многообразия, но и от значения локальных скоростей. Со-
ответственно, физические поля в картановском финслеровом пространстве помимо
пространственно-временных координат оказываются, вообще говоря, зависящими
от этих скоростей. Данное обстоятельство сильно осложняет физическую интер-
претацию картановских финслеровых метрик. Поэтому заранее не ясно, является
ли использование подобных метрик чисто формальным приемом, или же реальное
пространство-время действительно обладает финслеровой геометрией.
Впервые физические аспекты указанной проблемы привлекли к себе внимание,
когда пришло осознание того, что в рамках модели локально изотропного (рима-
нова) пространства-времени невозможно реализовать принцип Маха для пробного
тела. Согласно этому принципу, способность тела сопротивляться ускорению, т.е. его
инертность, должна зависеть от распределения и движения внешней (по отношению
к телу) материи. Другими словами, инертная масса тела, входящая, например, во вто-
рой закон Ньютона, должна являться не скаляром, а тензором [8]. Таким образом,
открытие анизотропии инертности стало бы прямым указанием на локальную ани-
зотропию пространства. Эксперименты, поставленные с этой целью [9, 10], привели
к верхней границе искомой анизотропии на уровне
10
−
23
. Столь сильное ограни-
чение существенно снизило интерес к проблеме локальной анизотропии и вплоть
120
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
