Следуя работе [11] и используя равенства
f
(
ζ
1
, ζ
2
)
g
1
(
ζ
1
)
ζ
1
−
z
1
=
f
(
ζ
1
,
∞
) +
ϕ
1
(
ζ
1
, ζ
2
)
ζ
1
;
f
(
ζ
1
, ζ
2
)
g
2
(
ζ
2
)
ζ
2
−
z
2
=
f
(
∞
, ζ
2
) +
ϕ
2
(
ζ
1
, ζ
2
)
ζ
2
;
f
(
ζ
1
, ζ
2
)
g
(
ζ
1
, ζ
2
)
(
ζ
1
−
z
1
) (
ζ
2
−
z
2
)
=
f
(
∞
,
∞
) +
ϕ
12
(
ζ
1
, ζ
2
)
ζ
1
ζ
2
,
в которых функции
ϕ
1
(
ζ
1
, ζ
2
)
,
ϕ
2
(
ζ
1
, ζ
2
)
и
ϕ
12
(
ζ
1
, ζ
2
)
таковы, что
lim
ζ
1
→∞
ϕ
1
(
ζ
1
, ζ
2
) = 0
8
Im
z
2
>
0
,
lim
ζ
2
→∞
ϕ
2
(
ζ
1
, ζ
2
) = 0
8
Im
z
1
>
0
,
lim
ζ
1
→∞
ζ
2
→∞
ϕ
12
(
ζ
1
, ζ
2
) = 0
,
убедимся, что при
R
j
→ ∞
,
j
= 1
,
2
, формула (1) принимает вид
f
(
z
1
, z
2
)
g
(
z
1
, z
2
) = (
K
12
fg
) (
z
1
, z
2
) +
1
2
(
K
1
fg
1
) (
z
1
) +
+
1
2
(
K
2
fg
2
) (
z
2
) +
1
4
f
(
∞
,
∞
)
,
(3)
где
(
z
1
, z
2
)
2
D
и
(
K
12
fg
) (
z
1
, z
2
) =
1
(2
πi
)
2
Z
Г
2
Z
f
(
ζ
1
, ζ
2
)
g
(
ζ
1
, ζ
2
)
(
ζ
1
−
z
1
) (
ζ
2
−
z
2
)
dζ
1
dζ
2
;
(
K
1
fg
1
) (
z
1
) =
1
2
πi
∞
Z
−∞
f
(
ζ
1
,
∞
)
g
1
(
ζ
1
)
ζ
1
−
z
1
dζ
1
;
(
K
2
fg
2
) (
z
2
) =
1
2
πi
∞
Z
−∞
f
(
∞
, ζ
2
,
)
g
2
(
ζ
2
)
ζ
2
−
z
2
dζ
2
.
Формула (3) имеет смысл лишь в том случае, если функция
f
(
ζ
1
, ζ
2
)
ведет себя определенным образом в бесконечно удаленных точках
плоскости
Г
2
=
{
(
z
1
, z
2
) : Im
z
1
= 0
,
Im
z
2
= 0
}
. Например, для суще-
ствования интеграла
(
K
12
fg
) (
z
1
, z
2
)
в несобственном смысле необхо-
димо потребовать, чтобы функция
f
(
ζ
1
, ζ
2
)
удовлетворяла условию
lim
ζ
1
→∞
f
(
ζ
1
, ζ
2
) = lim
ζ
2
→∞
f
(
ζ
1
, ζ
2
) = 0
.
(4)
В этом случае формула (3) принимает вид
f
(
z
1
, z
2
)
g
(
z
1
, z
2
) = (
K
12
fg
) (
z
1
, z
2
)
.
(5)
26
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
