Из формулы Коши (5) следует, что при
Im
z
1
>
0
и
Im
z
2
>
0
имеют
место следующие равенства:
0 = (
K
12
fg
) (
z
1
, z
2
);
(6)
0 = (
K
12
fg
) (
z
1
, z
2
)
и
0 = (
K
12
fg
) (
z
1
, z
2
)
.
(7)
Так как функции
g
j
(
ζ
j
)
,
j
= 1
,
2
, являются чисто мнимыми (веще-
ственными) на
M
j
2
δ
−
1
(
M
j
2
δ
)
,
j
= 1
,
2
, то функция
g
(
z
1
, z
2
)
будет чисто
мнимой (вещественной) на
M
pq
при
p
+
q
нечетном (четном) и, следо-
вательно, чисто мнимой (вещественной) на
M
v
(
M
u
)
.
Складывая левые и правые части равенств (5) и (6), найдем, что
f
(
z
1
, z
2
)
g
(
z
1
, z
2
) =
K
12
fg
+
fg
(
z
1
, z
2
) =
= 2
X
p
+
q
=2
S
0
6
S
6
n
+
m
(
K
pq
ug
) (
z
1
, z
2
) + 2
i
X
p
+
q
=2
S
+1
0
6
S
6
n
+
m
−
1
(
K
pq
vg
) (
z
1
, z
2
)
≡
≡
2 (
K
u
ug
) (
z
1
, z
2
) + 2
i
(
K
v
vg
) (
z
1
, z
2
)
,
(8)
где положено
(
K
pq
h
) (
z
1
, z
2
) =
1
(2
πi
)
2
Z
M
pq
Z
h
(
ζ
1
, ζ
2
)
dζ
1
dζ
2
(
ζ
1
−
z
1
) (
ζ
2
−
z
2
)
,
(
K
u
h
) (
z
1
, z
2
) =
1
(2
πi
)
2
Z
M
u
Z
h
(
ζ
1
, ζ
2
)
dζ
1
dζ
2
(
ζ
1
−
z
1
) (
ζ
2
−
z
2
)
.
Формула (8) — искомая. Обратимся к условиям (7), сложив которые,
получим
0 = (
K
u
ug
) (
z
1
, z
2
) +
i
(
K
v
vg
) (
z
1
, z
2
)
,
(
z
1
, z
2
)
2
D.
(9)
Фиксируя целые числа
r
и
e
и предполагая, что
r
+
e
четно, выделяем
в сумме (9) интегралы
K
pq
, у которых либо
p
=
r
, либо
q
=
e
, и
представляем формулу (9) следующим образом:
0 = (
K
re
ug
) (
z
1
, z
2
) +
+
n
+
m
X
S
=
[
r
+1
2
]
K
r,es
−
r
ug
(
z
1
, z
2
) +
i
n
+
m
−
1
X
S
=
[
r
2
]
K
r,es
−
r
+1
vg
(
z
1
, z
2
)+
+
n
+
m
X
S
=
[
e
+1
2
]
K
es
−
e,e
ug
(
z
1
, z
2
) +
i
n
+
m
−
1
X
S
=
[
e
2
]
K
es
−
e
−
1
vg
(
z
1
, z
2
)+
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
27
