донапряжения и псевдодеформации в компонентах КМ [5];
C
α
ijkl
—
компоненты тензоров модулей упругости компонентов КМ;
λ
α
,
μ
α
—
константы Ламе
α
-го компонента КМ;
U
α
j
(
pq
)
/i
=
∂
∂ξ
i
U
α
j
(
pq
)
— частные
производные по локальным координатам
ξ
i
,
n
i
— компоненты вектора
нормали к поверхности раздела
˜Σ
ξαN
компонентов КМ.
К системе (1) кроме условий идеального контакта на границе ком-
понентов КМ присоединяются условия на торцевых поверхностях ЯП
Σ
0
s
и на плоскостях симметрии
Σ
=
s
{
ξ
s
= 0
}
[5]:
при
p
=
q U
α
i
(
pq
)
=
1
2
ˉ
ε
pq
δ
ip
, U
α
j
(
pq
)
/i
= 0
, U
α
k
(
pq
)
/i
= 0
на
Σ
0
i
i
6
=
j
6
=
k
6
=
i
;
при
p
6
=
q U
α
i
(
pq
)
=
1
4
ˉ
ε
pq
δ
ip
, U
α
j
(
pq
)
/j
= 0
, U
α
k
(
pq
)
/j
= 0
,
на
Σ
0
j
;
U
α
i
(
pq
)
/k
= 0
, U
α
j
(
pq
)
/j
= 0
, U
α
k
(
pq
)
= 0
,
на
Σ
0
j
;
i, j
=
{
p, q
}
i
6
=
j
6
=
k
6
=
i.
(2)
Здесь
ˉ
ε
pq
— эффективные деформации КМ, которые в задаче (1)–(2)
являются заданными величинами.
Вариационная формулировка задачи (1)–(2) и конечно-элементный
метод ее решения предложены в работах [5–8].
Метод вычисления эффективных упругих характеристик.
Если
задача (1)–(2) решена, то, проинтегрировав полученные псевдонапря-
жения по областям
˜
V
α
ξ
, соответствующим компонентам КМ для 1/8
ЯП, и воспользовавшись определяющими соотношениями в (1), нахо-
дим эффективные упругие модули [5]:
ˉ
σ
ij
(
pq
)
=
h
σ
(
α
)
ij
(
pq
)
(
ξ
k
)
i
= 8
N
X
α
=1
Z
˜
V
α
ξ
σ
α
ij
(
pq
)
(
ξ
k
)
dV
α
ξ
,
(3)
ˉ
C
ijpq
=
ˉ
σ
ij
(
pq
)
ˉ
ε
pq
.
(4)
После расчета тензора модулей упругости
ˉ
C
ijpq
вычисляют тензор
эффективных упругих податливостей
ˉΠ
ijpq
= ( ˉ
C
ijpq
)
−
1
и по его компо-
нентам находятся эффективные технические константы. В частности,
если КМ в целом оказывается ортотропным, то для него вычисляются
эффективные модули Юнга
E
i
=
1
Π
iiii
, эффективные коэффициенты
Пуассона
ν
ij
=
−
Π
iijj
Π
iiii
и эффективные модули сдвига
G
ij
= ˉ
C
ijij
(здесь
по
i, j
суммирования нет).
58
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
