местного смятия
α
оболочки и материальной точки (см. рис. 1,
а
):
s
=
w
+
α.
(4)
Местные деформации предполагаются упругими. Для зависимости
упругого смятия материалов в месте контакта тела и оболочки от ве-
личины силы удара используется закон Герца упругого смятия [1]. При
малых скоростях соударения использование закона Герца для упругого
контакта допустимо, что подтверждается физическими тенденциями в
эксперименте.
Для упругих деформаций величина нормальной контактной силы
принимается равной
P
=
Kα
3
/
2
,
(5)
где коэффициент
К
зависит от параметров соударяющихся тел:
K
=
4
3
q
k
(
δ
1
+
δ
2
)
√
A
+
B
, δ
i
=
1
−
μ
2
i
πE
i
, q
k
=
q
k
(
A/B
)
.
(6)
Здесь
μ
i
— коэффициент Пуассона,
E
i
— модуль упругости материала
(
i
= 1
для тела,
i
= 2
для оболочки). В случае внешнего контакта
полого цилиндра (цилиндрической оболочки) радиуса
R
со сферой
(считаем, что твердое тело в точке соударения имеет сферическую
форму) радиуса
R
1
, коэффициенты
А
и
В
примут вид:
A
=
1
2
R
1
, B
=
1
2
1
R
+
1
R
1
.
(7)
Следует определить
w
— перемещение точки оболочки в месте уда-
ра. Решение будем искать в виде рядов по собственным функциям, для
чего сначала определим собственные частоты оболочки. Не учитывая
волновой характер распространения деформаций и пренебрегая инер-
ционными силами в направлениях
u
и
v
(по оси
х
и по касательной
к оболочке
ϕ
, см. рис. 1,
б
) и нелинейными членами, получим диффе-
ренциальные уравнения движения цилиндрической оболочки в виде
∂
2
u
∂ξ
2
+
1
−
μ
2
∂
2
u
∂ϕ
2
+
1 +
μ
2
∂
2
v
∂ξ∂ϕ
−
μ
∂w
∂ξ
= 0;
1 +
μ
2
∂
2
u
∂ξ∂ϕ
+
1
−
μ
2
∂
2
v
∂ξ
2
+
∂
2
v
∂ϕ
2
−
∂w
∂ϕ
= 0;
μ
∂u
∂ξ
+
∂v
∂ϕ
−
w
−
β
r
4
w
=
L
∂
2
w
∂t
2
,
(8)
где
β
=
h
2
12
R
2
,
L
=
1
−
μ
2
E
ρR
2
,
ξ
=
x
R
,
ϕ
=
y
R
,
r
4
=
∂
2
∂ξ
2
+
∂
2
∂ϕ
2
2
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 3
101
