очередной итерации можно выбирать численные значения
λ
,
соответ
-
ствующие температуре
,
полученной на предшествующей итерации
.
То
-
гда на каждой очередной итерации вместо задачи
(1)–(3)
необходимо
решать линейное дифференциальное уравнение
∇
(
λ
(
M
)
∇
T
(
M
)) = 0
,
M
∈
D,
(4)
с граничными условиями
(2)
и условием
λ
(
N
)
n
(
N
)
∇
T
(
N
) +
α
(
N
)
T
(
N
) =
α
(
N
)
T
C
(
N
)
,
N
∈
C
2
.
(5)
Для конструкции сложной формы эффективным методом решения
задачи рассматриваемого типа является метод конечных элементов
,
ко
-
торый основан на интегральной формулировке рассматриваемой зада
-
чи
.
В данном случае эта форма может быть приведена к интегральному
функционалу
[1]
J
(
T
) =
Z
D
λ
(
M
)
2
(
∇
T
(
M
))
2
dD
+
Z
C
2
α
(
N
)
µ
T
(
N
)
2
−
T
C
¶
T
(
N
)
dC,
(6)
который допустимо рассматривать на непрерывных и кусочно диффе
-
ренцируемых в области
D
распределениях температуры
,
удовлетворя
-
ющих граничному условию
(2).
При этом на истинном решении задачи
функционал
(6)
достигает минимума
.
Это свойство позволяет приме
-
нить для решения метод локальных вариаций
[2].
Используем функционал
(6)
для нахождения распределения темпе
-
ратуры в двухслойной оболочке
,
две стенки которой связаны между со
-
бой ребрами
,
образующими каналы для охлаждающей жидкости
.
По
-
вторяющийся элемент оболочки представлен на рис
. 1,
а
.
На внутрен
-
нюю стенку воздействует газ с температурой
Т
г
.
Охлаждающая жид
-
кость имеет температуру
Т
ж
.
Разобьем область
D
на прямоугольные ячейки прямыми
x
=
x
j
+
+
j
∆
x
и
y
=
y
k
+
k
∆
y
,
j
= 1
, . . . , m
,
k
= 1
, . . . , n
,
∆
x,
∆
y >
0
,
затем
на треугольные ячейки
(
рис
. 1,
б
).
Предполагается
,
что параметры сет
-
ки подобраны так
,
что линии
x
=
x
m
,
x
=
x
l
,
x
=
x
m
1
, x
=
x
m
2
,
y
=
y
1
,
y
=
y
n
,
y
=
y
n
1
совпадают с соответствующими границами области
D
.
Минимизируемый функционал
J
(
T
)
приближенно заменим суммой
J
≈
I
=
m
X
j
=1
n
X
k
=1
¡
I
1
jk
+
I
2
jk
¢
,
(7)
где
I
1
jk
,
I
2
jk
—
приближенны
e
значения вкладов в функционал по тре
-
угольникам с вершинами в точках
M
jk
,
M
j
+1
,k
,
M
j,k
+1
и
M
j
+1
,k
+1
,
42
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
