Использование преобразования Фурье для определения двумерного распределения фазы статической интерференционной картины - page 3

Выражение (2) подвергнем процедуре двумерного преобразования
Фурье по пространственным координатам x, y и получим
G( f, ω) = A( f, ω) + C ( f − f0 , ω − ω0 ) + C ∗ (f + f0 , ω + ω0 ),
где G( f, ω) , A(f, ω ), C (f, ω ), C ∗ (f, ω) — фурье-спектр функций g(x, y) ,
a(x, y) , c( x, y) , c∗ (x, y) ; f — пространственная частота в направле-
нии x; ω — пространственная частота в направлении y.
Несложно заметить, что все три составляющие функции G (x, y)
разнесены на фурье-плоскости на величину пространственно-несущих
частот f0 и ω0 . Это следует из начального предположения о том , что
пространственное изменение функций a( x, y), b(x, y) , ψ( x, y) менее
значительно в сравнении с изменением, вносимым пространственно -
несущими частотами f0 и ω 0.
Следовательно, можно выделить аддитивную спектральную соста -
вляющую C (f − f0, ω − ω 0) функции G(f, ω ), проигнорировав осталь-
ные ее составляющие. Далее сдвигом компоненты спектра C (f − f0,
ω − ω 0) в начало координат приводим к нулю значения несущих ча -
стот. Проводим процедуру обратного преобразования Фурье и получа -
ем функцию c(x, y ). Теперь, чтобы получить функцию ψ(x, y) , необхо-
димо вычислить комплексный логарифм от функции c(x, y) :
ln(c( x, y)) = lnµ 1
2
b(x, y) ¶ + iψ( x, y).
Мнимая составляющая и представляет собой зависимость ψ( x, y).
Необходимо отметить, что таким способом возможно восстановить
функцию ψ( x, y), свернутую по модулю 2π, т.е. относительные фазо-
вые значения. Для получения абсолютных фазовых значений необхо -
димо провести процедуру “ развертки фазы”. В данной процедуре ис-
пользуется то, что в дискретном случае операция свертки по модулю 2π
искажает абсолютные значения функции , оставляя без изменения поле
градиентов. В рамках настоящей работы проблемы “развертки фазы”
не рассматриваются; они рассмотрены, например, в работах [4, 5].
Обработка модельной статической интерференционной карти -
ны. Создадим модельную статическую интерференционную картину,
где в качестве функции δ (x, y) будет выступать сумма двух поверх-
ностей: Aρ2 cos(2(ϕ − ϕA) — астигматизма с параметрами А = 0 ,4,
ϕA = 17◦; C3 ρ3 cos(3(ϕ − ϕC3 )) — триангулярной комы с параметрами
C3 = 0,6, ϕC3 = −43◦ ; здесь ρ — функция такая, что ρ2 = x2 + y2 .
Начало отсчета угла ϕ — ось y , направление его отсчета — против
часовой стрелки (рис. 1).
Линейные размеры модельной интерференционной картины соста -
вляют 1024 строки и 1024 столбца. Радиус внешней маски — 512 эле-
74 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2004. № 3