где
[
x
]
—
целая часть от
x
,
L
α
m
(
x
) = (1
/m
!)
x
−
α
e
x
D
m
¡
x
α
+
m
e
−
x
¢
, m
= 0
,
1
, . . . , α >
−
1
,
—
обобщенные многочлены Чебышева
–
Лагерра
.
Для доказательства теоремы используются следующие леммы
.
Лемма
1
.
Если
d
0
= 1
,
d
1
= 2
L
1
1
(
−
u
)
и для любого
k
= 1
,
2
, . . .
выполнено соотношение
d
k
+1
= 2(2
k
+ 2 +
u
)
d
k
−
(2
k
+ 1)
2
d
k
−
1
,
то
справедливо равенство
(4).
Доказательство
.
Доказательство проведем по индукции
,
пользу
-
ясь следующими формулами
[4]:
L
α
0
(
x
)
≡
1
, D
2
k
¡
L
1
n
(
x
)
¢
=
L
1+2
k
n
−
2
k
(
x
)
,
n
= 1
,
2
, . . . , k
= 0
,
1
, . . . ,
[
n/
2]
,
L
1
n
−
1
(
x
) =
D
2
¡
L
1
n
+1
(
x
)
−
2
L
1
n
(
x
) +
L
1
n
−
1
(
x
)
¢
, n
= 1
,
2
, . . . ,
и рекуррентным соотношением для обобщенных многочленов Чебы
-
шева
–
Лагерра
[4]:
(
n
+ 1
−
2
k
)
D
2
k
¡
L
1
n
+1
(
x
)
¢
=
= (2
n
+ 2 +
u
−
2
k
)
D
2
k
¡
L
1
n
(
x
)
¢
−
(
n
+ 1)
D
2
k
¡
L
1
n
−
1
(
x
)
¢
.
Для
n
= 0
и
n
= 1
утверждение леммы выполнено в силу ее
условия
.
Предположим
,
что оно справедливо для некоторых
n
−
1
,
n
,
n
∈ {
2
,
3
, . . .
}
.
Для упрощения обозначений при доказательстве леммы будем опус
-
кать аргументы многочленов
L
1
n
−
1
(
−
u
)
,
L
1
n
(
−
u
)
,
L
1
n
+1
(
−
u
)
.
Тогда
d
n
+1
= 2(2
n
+ 2 +
u
)
(
n/
2)
X
k
=0
(
−
1)
k
((2
k
−
1)!!)
2
k
!
(
n
−
k
)!
·
2
n
−
2
k
D
2
k
(
L
1
n
)
−
−
(2
n
+ 1)
2
[(
n
−
1)
/
2]
X
k
=0
(
−
1)
k
((2
k
−
1)!!)
2
k
!
(
n
−
k
−
1)!
×
×
2
n
−
2
k
−
1
D
2
k
(
L
1
n
−
1
)
.
(6)
Поскольку
(2
n
+ 1)
2
= (2
k
+ 1)
2
+ 4(
n
−
k
)(
n
+ 1 +
k
)
,
то
(2
n
+ 1)
2
[(
n
−
1)
/
2]
X
k
=0
(
−
1)
k
((2
k
−
1)!!)
2
k
!
(
n
−
k
−
1)!
·
2
n
−
2
k
−
1
D
2
k
(
L
1
n
−
1
) =
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
1 89
