4 / 18
Математическое моделирование температурного режима грунтов…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
145
( )
div( ( )grad ) = 0.
l
T L
T
t
(2)
Уравнение (2) дополним начальным условием [4]
0
( , 0) = ( ),
,
T T
x
x x
(3)
и граничными условиями
1
(1 )
(
)
=
,
;
1
air
Q A I
T T
Tk
n
R
x
(4)
2
= 0,
,
Tk
n
x
(5)
где
Q
— суммарная коротковолновая радиация;
A
— альбедо;
I
— длинновол-
новое излучение;
air
T
— температура окружающей среды;
R
— коэффициент
термического сопротивления наземного покрова (зимой — снега, летом — рас-
тительности).
Уравнение (2) с соответствующими граничными и начальными условиями
аппроксимируют по пространственным переменным методом конечных эле-
ментов [11]. Для аппроксимации по времени применяют неявную разностную
схему [5, 6]. Для линеаризации уравнения используем простейшую линеариза-
цию, когда коэффициенты зависят от значения искомой функции предыдущего
временного слоя [12].
Для каждого временного слоя запишем вариационную постановку задачи:
найти
( )
T V
такую, что
1
1
1
1
1
grad grad
( )
( )
,
(1 )
=
,
1
1
n
n
n
n
n
n
l
air
n
T T
L
vdx
T
v dx
Q A I T
T vds
vds
R
R
(6)
где
1
( )= ( ).
v V H
Отметим, что в качестве базисных функций будем ис-
пользовать линейные базисные функции.
Запишем уравнение (6) в виде
1
1
1
0
( , ) ( , ) = ( ) ( , ),
,
n
n
n
m T v a T v l v m T v v H
(7)
где
1
1
( , )
( )
;
( , ) = ( )
,
;
grad grad
1
(1 )
( )
.
1
n
n
l
n
air
m T v
L Tvdx
a T v
T v dx
Tvds
R
Q A I T
l v
vds
R
(8)