Введем безразмерное время
τ
=
ωt
и вместо
x
новое переменное
ξ
=
x l
−
1
. Уравнение (1) примет вид
∂
4
y
∂ξ
4
+
ων
EI
∂
5
y
∂t∂ξ
4
+
l
2
EI
(
P
0
+
P
1
cos
τ
)
∂
2
y
∂ξ
2
+
mω
2
l
4
EI
∂
2
y
∂t
2
= 0
.
(3)
Решение уравнения (3) может быть сведено к решению системы
обыкновенных диффереенциальных урравнений. Будем искать реше-
ние уравнения (3) в виде
y
(
ξ, τ
) =
∞
X
k
=1
u
k
(
τ
)
z
k
(
ξ
)
,
(4)
где функции
z
k
(
ξ
)
являются решением краевой задачи
d
4
z
k
dξ
4
−
λ
2
k
μ
2
z
k
= 0;
z
k
(0) =
dz
k
dξ
(0) = 0;
d
2
z
k
dξ
2
(1) =
d
3
z
k
dξ
3
(1) = 0
.
(5)
Здесь
μ
2
=
mω
2
l
4
EI
и
¨
u
k
+
λ
2
k
u
k
= 0
.
Решение краевой задачи (5) имеет вид
z
k
(
ξ
) =
γ
k
(cos
δ
k
ξ
−
ch
δ
k
ξ
) + sh
δ
k
ξ
−
sin
δ
k
ξ,
(6)
где
γ
k
=
sin
δ
k
+ sh
δ
k
cos
δ
k
+ ch
δ
k
, k
= 1
,
2
. . .
,
δ
2
k
=
λ
k
μ
, а
δ
k
удовлетворяет
уравнению
ch
δ
k
cos
δ
k
=
−
1
, k
= 1
,
2
. . . .
(7)
Два наименьших корня уравнения (7)
δ
1
'
1
,
875
,
δ
2
'
4
,
694
, тогда
γ
1
'
1
,
362
и
γ
2
'
0
,
982
.
Система функций
{
z
k
(
ξ
)
}
удовлетворяет на отрезке [0,1] условию
ортогональности
1
Z
0
z
k
(
ξ
)
z
m
(
ξ
)
dξ
= 0
, k
6
=
m.
(8)
Обозначим
a
k
=
Z
1
0
z
2
k
(
ξ
)
dξ
= 0
,
k
=
m
. Подставляя (4) в уравне-
ние (3), умножая на
z
k
(
ξ
)
и интегрируя от 0 до 1, учитывая условия
ортогональности (8), получаем счетную систему обыкновенных диф-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
35
