ференциальных уравнений. Ограничимся системой двух уравнений
¨
u
1
+
kμ
−
2
δ
4
1
˙
u
1
+
μ
−
2
δ
4
1
u
1
+
+
pμ
−
2
(
e
11
u
1
+
e
21
u
2
) +
ε
cos
τ
(
e
11
u
1
+
e
21
u
2
) = 0;
¨
u
1
+
kμ
−
2
δ
4
2
˙
u
2
+
μ
−
2
δ
4
2
u
2
+
+
pμ
−
2
(
e
12
u
1
+
e
22
u
2
) +
ε
cos
τ
(
e
12
u
1
+
e
22
u
2
) = 0
,
(9)
где
k
=
νω
EI
,
p
=
l
2
EI
P
0
,
ε
=
l
2
EI
μ
−
2
P
1
.
В системе (9) перейдем к новым переменным
V
1
, V
2
с помощью
линейного преобразования
u
1
u
2
=
L
V
1
V
2
, L
=
1
e
21
p
μ
2
ω
2
2
−
δ
4
1
−
pe
11
e
12
p
μ
2
ω
2
1
−
δ
4
2
−
pe
22
1
,
(10)
где
ω
1
, ω
2
удовлетворяют уравнению частот
det
−
ω
2
+
μ
−
2
δ
4
1
+
pμ
−
2
e
11
pμ
−
2
e
21
pμ
−
2
e
12
−
ω
2
+
μ
−
2
δ
4
2
+
pμ
−
2
e
22
= 0
.
В переменных
V
1
, V
2
система (9) примет вид
¨
V
1
+
kσ
(
d
0
11
˙
V
1
+
d
21
˙
V
2
) +
ω
2
1
V
1
+
εσ
cos
τ
(
e
0
11
V
1
+
e
0
21
V
2
) = 0;
¨
V
2
+
kσ
(
d
0
12
˙
V
1
+
d
22
˙
V
2
) +
ω
2
2
V
2
+
εσ
cos
τ
(
e
0
12
V
1
+
e
0
22
V
2
) = 0
,
σ
= det
L
−
1
.
(11)
В (11) коэффициенты
d
0
ij
, e
0
ij
выражаются через
e
ij
, δ
1
, δ
2
, p
и
μ
.
Стабилизация прямолинейной формы стержня комбинацион-
ным резонансом суммарного типа
. При
ε
= 0
,
k
= 0
прямолинейная
форма
y
(
x, t
) = 0
устойчива при
p < p
0
≈
20
,
15
[3]. В случае
k >
0
,
ε
= 0
эта форма асимптотически устойчива при
p < p
1
≈
9
,
328
и
достаточно малом
k
. Имеем явление падения критической нагрузки
при малой вязкости. Отсюда возникает задача о возможности стаби-
лизации прямолинейной формы стержня в области
p
1
< p < p
0
при
наличии комбинационного резонанса.
Пусть частоты
ω
1
и
ω
2
удовлетворяют условию
ω
1
+
ω
2
−
1 = 0
.
Предварительно вместо переменных
V
1
, V
2
в системе (11) введем
переменные
r
i
,
ϕ
i
, i
= 1
,
2
по формулам
V
i
=
r
i
sin
ϕ
i
,
˙
V
i
=
r
i
ω
i
cos
ϕ
i
,
i
= 1
,
2
. Тогда система (11) примет вид
36
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
