О стабилизации вязкоупругого стержня прямолинейной формы под действием периодически изменяющейся следящей силы - page 4

˙ ϕ1 = ω1 + kσ (d0
11 sin ϕ1 cos ϕ1 + d0
21 r2 r−1
1 ω2 ω−1
1 sin ϕ1 cos ϕ2) +
+ εσω −1
1 (e 0
11 sin2 ϕ1 + e0
21 r2 r −1
1 sin ϕ1 sin ϕ2 ) cos τ
˙ ϕ2 = ω2 + kσ (d0
12 r 1r −1
2 ω 1ω −1
2 sin ϕ2 cos ϕ1 + d0
22 sin ϕ2 cos ϕ2) +
+ εσω −1
2 (e 0
12 r1 r−1
2 sin ϕ1 sin ϕ2 + e0
22 sin2 ϕ2 ) cos τ ;
˙ r1 = − kσ( d0
11 cos2 ϕ1 r1 + d0
21 ω2 ω −1
1 cos ϕ1 cos ϕ2 r2 ) −
− εσω −1
1 ( e0
11 sin ϕ1 cos ϕ1 r1 + e 0
21 cos ϕ1 sin ϕ2r 2) cos τ
˙ r2 = − kσ( d0
12 ω1 ω −1
2 cos ϕ1 cos ϕ2 r1 + d0
22 cos2 ϕ2 r2 ) −
− εσω −1
2 ( e0
12 sin ϕ1 cos ϕ2 + e 0
22 sin ϕ2 cos ϕ2r 2) cos τ .
(12)
Введем расстройку Δ = ω1 + ω2 − 1, Δ ε и, сделав замену
переменных ϕ1 , ϕ2 , τ → ϕ1 , ϕ2 , θ, θ = ϕ1 + ϕ2 − τ , приведем систему
уравнений (12) к виду, в котором резонанс устранен за счет увеличения
на единицу числа медленных переменных. Осредняя эту систему по
быстрым переменным ϕ1 и ϕ2 , получаем уравнения, описывающие
эволюцию медленных переменных, для которых сохранены прежние
обозначения
˙
θ = Δ −
1
4
εσe0
21 ω −1
1 r 2r −1
1 cos θ −
1
4
εσe0
12 ω −1
2 r 1r −1
2 cos θ;
˙ r1 = −
1
2
kσd0
11 r1 −
1
4
εσω−1
1 e 0
21 r2 sin θ;
˙ r2 = − 1
2
kσd0
22 r2 − 1
4
εσω−1
2 e 0
12 r1 sin θ.
(13)
На границе устойчивости система (13) имеет ненулевое стационар-
ное решение, которое находится из системы уравнений
4Δ − εσe0
21 ω−1
1 r2 r−1
1 cos θ − εσe0
12ω −1
2 r1 r−1
2 cos θ = 0;
2kd0
11 r1 + εω−1
1 e0
21 r2 sin θ = 0;
2kd0
22 r2 + εω−1
2 e0
12 r1 sin θ = 0.
(14)
Условием существования стационарного решения является равенство
нулю определителя, составленного из коэффициентов при r 1 и r2 во
втором и третьем уравнениях
4ω1 ω 2k 2κ − ε2 sin2 θ = 0 , (15)
где κ =
d0
11 d0
22
e 0
12 e0
21
. Равенство (15) справедливо только при κ > 0.
Численный расчет показал, что на резонансной кривой ω 1 +
+ ω 2 − 1 = 0 выполняется условие κ > 0 при p1 < p < p0 . Если
0 < p < p1, то κ < 0.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1 37