на оси
Ox
i
прямоугольной системы координат;
a
i
— материальные
координаты частицы сплошной среды;
q
V
— объемная плотность мощ-
ности внутренних источников (или стоков) теплоты. Второй закон тер-
модинамики представим в форме неравенства Клаузиуса–Дюгема [2]
ρ
0
T dh/dt
≥ −
∂q
i
/∂a
i
+ (
q
i
/T
)
∂T/∂a
i
+
q
V
,
(2)
где
T
— абсолютная температура,
h
— массовая плотность энтропии.
В (1), (2) и далее использовано правило суммирования по одинаковым
индексам.
В дальнейшем в качестве одной из термодинамических функций,
характеризующих состояние сплошной среды, удобно использовать
массовую плотность свободной энергии
A
=
u
−
Th
. Продифференци-
ровав это равенство по времени
t
и объединив полученный результат
с (1), запишем
ρ
0
T dh/dt
=
T
ji
(
dL
ij
/dt
)
−
ρ
0
(
dA/dt
+
h dT/dt
)
−
∂q
i
/∂a
i
+
q
V
,
(3)
Вычитая это равенство из (2), получаем общее диссипативное нера-
венство
T
ji
dL
ij
/dt
−
ρ
0
(
dA/dt
+
h dT/dt
)
≥
(
q
i
/T
)
∂T/∂a
i
,
(4)
которое является основным соотношением при термодинамическом
подходе к построению математических моделей термомеханических
процессов в сплошной среде.
Пусть текущее состояние сплошной среды в момент времени
t
в
окрестности любой ее частицы характеризуют
A
,
h
,
T
ji
и
q
i
. В ка-
честве аргументов этих функций примем
L
ij
,
T
и
θ
k
=
∂T/∂a
k
, а
также внутренние параметры состояния
χ
(
α
)
,
χ
(
β
)
i
,
χ
(
γ
)
ij
(
α
= 1
, α
K
;
β
= 1
, β
M
;
γ
= 1
, γ
N
). Физический смысл внутренних параметров
состояния зависит от свойств конкретной сплошной среды и особен-
ностей реального термомеханического процесса. Введение этих пара-
метров дает возможность связать макроскопическое поведение сплош-
ной среды с процессами, протекающими на микроуровне. Например,
скалярными параметрами
χ
(
α
)
могут быть температуры отдельных
структурных элементов среды или концентрации фаз и веществ, вхо-
дящих в состав среды. Роль векторных внутренних параметров с ком-
понентами
χ
(
β
)
i
могут выполнять потоки массы, энергии и количества
движения, переносимые элементами микроструктуры среды, а тензор-
ных параметров с компонентами
χ
(
γ
)
ij
— микронапряжения [3, 4].
Предположим, что скорости изменения внутренних параметров за-
висят лишь от текущего состояния сплошной среды в окрестности
рассматриваемой частицы, т.е.
dχ
(
α
)
/dt
=
κ
(
α
)
, dχ
(
β
)
i
/dt
=
κ
(
β
)
i
, dχ
(
γ
)
ij
/dt
=
κ
(
γ
)
ij
,
(5)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 3
71
