уравнений вблизи положения равновесия, и задача исследования асим-
птотической устойчивости положения равновесия исходной нелиней-
ной системы сводится к исследованию асимптотической устойчивости
нулевого решения системы линейных дифференциальных уравнений
первого приближения.
Выполняя линеаризацию системы (3) и приводя ее к безразмерным
переменным, получаем
¨
ξ
+
ω
2
X
ξ
=
1
2
ε
C
Y a
−
C
0
Xa
˙
η
−
ε (
C
Xa
+
μ
X
)
˙
ξ
+
1
2
ε
C
0
Xa
γ
;
¨
η
+
ω
2
Y
η
= −
1
2
ε
C
Xa
+
C
0
Y a
+ 2
μ
Y
˙
η
−
ε
C
Y a
˙
ξ
+
1
2
ε
C
0
Y a
γ
;
¨
γ
+
ω
2
M
γ
= −
1
2
σ
ε
C
0
Ma
˙
η
−
1
σ
ε
C
Ma
˙
ξ
+
1
2
σ
ε
C
0
Ma
γ
−
εμ
M
˙
γ .
(4)
Здесь
ξ
=
x
−
x
0
S
,
η
=
y
−
y
0
S
,
γ
=
ϕ
−
ϕ
0
— безразмерные коор-
динаты; точкой обозначена производная по безразмерному времени
τ
=
V
∞
S
t
;
μ
X
=
ν
X
ρ
SV
∞
,
μ
Y
=
ν
Y
ρ
SV
∞
,
μ
M
=
ν
M
σρ
S
3
V
∞
— безраз-
мерные коэффициенты демпфирования связей;
σ
— безразмерный ко-
эффициент, определяемый геометрией профиля и положением точки
закрепления (например, для круга и квадрата, закрепленных за центр
масс, соответственно
σ
=
1
8
и
σ
=
1
6
);
ω
2
X
=
f
X
S
ρ
0
bV
2
∞
,
ω
2
Y
=
f
Y
S
ρ
0
bV
2
∞
,
ω
2
M
=
f
M
σρ
0
SbV
2
∞
;
b
— второй характерный размер профиля, выбирае-
мый так, что
6
=
S b
— площадь профиля;
ρ
0
— плотность материала
профиля. Параметр
ε
=
ρ
ρ
0
S
b
является малым (
ε
1
), если иссле-
дуется обтекание профиля, два характерных размера которого близки,
а плотность его материала много больше плотности среды набега-
ющего потока. Например, для типичных сталеалюминевых проводов
воздушных линий электропередачи
ε
=
10
−
3
. . .
10
−
4
. В дальнейшем
будем исследовать устойчивость положений равновесия именно та-
ких профилей, которые назовем тяжелыми плохообтекаемыми, и, где
это возможно и корректно, будем пренебрегать в выкладках высокими
степенями
ε
по сравнению с низкими.
Отметим, что значения входящих в систему (4) аэродинамических
коэффициентов и их производных по углу атаки вычисляются для
профиля, находящегося в положении равновесия (при
γ
=
0
), т.е.
являются постоянными.
Для исследования устойчивости по Ляпунову нулевого решения
системы (4) необходимо определить знаки вещественных частей кор-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
33
