ней ее характеристического уравнения. Для этого воспользуемся кри-
терием Гурвица [12].
В настоящей работе исследуется устойчивость решения системы
(4), а также частные случаи, соответствующие одной и двум степеням
свободы у рассмотренной системы (рис. 2). Во всех случаях будем
рассматривать систему при наличии как вязкоупругих связей (с отлич-
ными от нуля коэффициентами
ε μ
X
, μ
Y
, μ
M
1
ε
)
, так и идеально
упругих связей (при
μ
X
=
μ
Y
=
μ
M
=
0
)
. При наличии двух “по-
ступательных” (по осям
x
и
y
)
степеней свободы рассмотрим также
отдельно случаи равных и разных частот
ω
X
и
ω
Y
.
При этих предположениях правые части уравнений системы (4)
пропорциональны малому параметру
ε
.
Ввиду громоздкости выкладок, приведем в виде таблицы лишь
окончательные результаты исследования устойчивости положений
равновесия систем с одной, двумя и тремя степенями свободы.
В таблице приняты следующие обозначения:
G
=
C
Xa
+
C
0
Y a
;
G
μ
=
G
+ 2
μ
Y
;
M
=
G
+ 2
C
Xa
;
M
μ
=
G
μ
+ 2
(
C
Xa
+
μ
X
)
;
W
=
C
Xa
C
Xa
+
C
0
Y a
+
C
Y a
C
Y a
−
C
0
Xa
;
W
μ
=
(
C
Xa
+
μ
X
)
C
Xa
+
C
0
Y a
+ 2
μ
Y
+
C
Y a
C
Y a
−
C
0
Xa
;
P
X
=
C
0
Xa
C
Ma
ω
2
M
ω
2
X
−
ω
2
M
;
P
Y
=
C
0
Y a
C
0
Ma
ω
2
M
ω
2
Y
−
ω
2
M
;
P
=
P
Y
+ 2
P
X
.
Для каждого случая получено неравенство или система неравенств,
при выполнении которых положение равновесия профиля является
асимптотически устойчивым. В то же время, если хотя бы одно нера-
венство меняется на противоположное, из критерия Гурвица следует,
что положение равновесия становится неустойчивым. В этом смысле
можно говорить о получении необходимых и достаточных условий
(критериев) устойчивости профиля в потоке.
Отметим, что рассмотрение системы уравнений первого прибли-
жения (4) не позволяет исследовать положение равновесия профи-
лей с одной степенью свободы, совершающих крутильные колебания.
В этом случае уравнение крутильных колебаний в исходной систе-
ме (3) линейно и характеристическое уравнение имеет пару чисто мни-
мых корней, поэтому соответствующее положение равновесия всегда
устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически.
Выводы.
1. Получены аналитические выражения для необходимых
и достаточных условий устойчивости тяжелого плохообтекаемого про-
филя в потоке, которые являются обобщениями известных условий
[4, 7, 11].
34
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 4
