¨
x
1
+
λ
1
x
1
+
μx
2
=
−
∂R
∂
˙
x
1
,
¨
x
2
+
λ
2
x
2
−
μx
1
=
−
∂R
∂
˙
x
2
,
(1)
где
R
=
1
2
(
β
1
x
2
1
˙
x
2
1
+
β
2
x
2
2
˙
x
2
2
) +
1
4
(
γ
1
˙
x
4
1
+
γ
2
˙
x
4
2
)
,
β
i
, γ
i
>
0
, —
функция
Рэлея
.
Систему
(1)
приведем к безразмерной форме посредством введения
безразмерного времени
τ
=
q
λ
1
+
λ
2
t
.
Эта замена корректна
,
так как
необходимым условием устойчивости линейной системы является не
-
равенство
λ
1
+
λ
2
>
0
.
Система
(1)
примет вид
x
00
1
+
kx
1
+
μx
2
+
β
1
x
2
1
x
0
1
+
γ
1
x
0
3
1
= 0
,
x
00
2
+ (1
−
k
)
x
2
−
μx
1
+
β
2
x
2
2
x
0
2
+
γ
2
x
0
3
2
= 0
.
(2)
Здесь штрих обозначает дифференцирование по
τ
;
k
=
λ
1
λ
1
+
λ
2
;
обо
-
значения для других параметров сохранены прежними
.
Условием устойчивости системы
(2)
при отсутствии диссипативных
сил
(
β
1
=
β
2
=
γ
1
=
γ
2
= 0)
является неравенство
k
(1
−
k
) +
μ
2
<
1
4
.
(3)
При выполнении неравенства
(3)
характеристическое уравнение
имеет две пары чисто мнимых корней
:
±
iω
1
,
±
iω
2
(
i
2
=
−
1)
,
где
ω
1
,
ω
2
удовлетворяют уравнению частот
ω
4
−
ω
2
+
k
(1
−
k
) +
μ
2
= 0
.
Таким образом
,
задача устойчивости системы
(2)
сводится к анализу
критического случая двух пар чисто мнимых корней
.
Линейная и нелинейная нормализация
.
Чтобы преобразовать си
-
стему
(2),
запишем ее в векторном виде
:
x
00
+
Ax
+
F
(
x, x
0
) = 0
,
x
= (
x
1
, x
2
)
т
, A
=
k μ
−
μ
1
−
k
, F
(
x, x
0
) = (
F
1
, F
2
)
т
,
F
1
=
β
1
x
2
1
x
0
1
+
γ
1
x
0
3
1
, F
2
=
β
2
x
2
2
x
0
2
+
γ
2
x
0
3
2
.
(4)
В системе
(4)
сделаем замену переменных
x
=
Ly, y
= (
y
1
, y
2
)
т
,
(5)
40
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
3
