отсутствует внутренний резонанс четвертого порядка
ω
1
6
= 3
ω
2
,
с по
-
мощью полиномиального преобразования
u
k
=
z
k
+
Z
k
(
z
1
, z
2
,
ˉ
z
1
,
ˉ
z
2
)
, k
= 1
,
2
,
(10)
систему
(8)
можно привести к нормальной форме до членов третье
-
го порядка включительно
(
присутствуют только члены тождественного
резонанса
):
z
0
1
=
iω
1
z
1
−
A
11
z
2
1
ˉ
z
1
−
A
12
z
1
z
2
ˉ
z
2
,
z
0
2
=
iω
2
z
2
−
A
21
z
2
z
1
ˉ
z
1
−
A
22
z
2
2
ˉ
z
2
,
(11)
где
A
11
=
1
8
α
β
1
+ 3
γ
1
ω
2
1
−
μ
4
(
ω
2
2
−
k
)
4
(
β
2
+ 3
ω
2
1
γ
2
)
,
A
12
=
1
4
α
μ
2
(
ω
2
2
−
k
)
2
β
1
+ 3
ω
2
2
γ
1
−
(
β
2
+ 3
ω
2
2
γ
2
)
,
A
21
=
1
4
α
μ
2
(
ω
2
2
−
k
)
2
β
2
+ 3
ω
2
1
γ
2
−
(
β
1
+ 3
ω
2
1
γ
1
)
,
A
22
=
1
8
α
β
2
+ 3
γ
2
ω
2
2
−
μ
4
(
ω
2
2
−
k
)
4
(
β
1
+ 3
ω
2
2
γ
1
)
.
Анализ устойчивости
.
Рассмотрим ряд частных случаев
.
Пусть
β
1
=
β
2
=
β
и
γ
1
=
γ
2
=
γ
.
Тогда коэффициенты
A
12
=
A
21
равны нулю
.
Система
(11)
имеет вид
z
0
1
=
iω
1
z
1
−
1
8
(
β
+ 3
γω
2
1
) 1 +
μ
2
(
ω
2
2
−
k
)
2
z
2
1
ˉ
z
1
,
z
0
2
=
iω
2
z
2
−
1
8
(
β
+ 3
γω
2
2
) 1 +
μ
2
(
ω
2
2
−
k
)
2
z
2
2
ˉ
z
2
.
(12)
Коэффициенты при
z
2
1
ˉ
z
1
и
z
2
2
ˉ
z
2
отрицательны
,
и на основании критерия
Каменкова
[6]
система
(12)
асимптотически устойчива
.
Отметим следующее
:
если на устойчивую циркуляционную систе
-
му действуют линейные диссипативные силы с равными коэффициен
-
тами диссипации
,
то циркуляционная система становится асимптоти
-
чески устойчивой
[1].
Аналогичный результат имеет место и в случае
нелинейных диссипативных сил
.
Рассмотрим случай
γ
1
=
γ
2
= 0
.
Система
(11)
примет вид
z
0
1
=
iω
1
z
1
−
1
8
α
β
2
(
β
−
a
)
z
2
1
ˉ
z
1
−
1
4
α
β
2
μ
2
(
ω
2
2
−
k
)
2
(
β
−
1)
z
1
z
2
ˉ
z
2
,
z
0
2
=
iω
2
z
2
+
1
4
α
β
2
μ
2
(
ω
2
2
−
k
)
2
(
β
−
1)
z
1
z
2
ˉ
z
1
−
1
8
α
β
2
(1
−
aβ
)
z
2
2
ˉ
z
2
,
a
=
μ
4
(
ω
2
2
−
k
)
4
<
1
, β
=
β
1
β
2
6
= 1
.
(13)
42
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
3
