где
L
=
1
μ
ω
2
2
−
k
μ
1
−
k
−
ω
2
1
1
.
Поскольку линейная система является неконсервативной
(
матрица
A
не является симметрической
),
то для перехода к нормальным коорди
-
натам необходимо провести анализ сопряженной системы
x
00
+
A
т
x
= 0
и найти сопряженную матрицу
L
собственных форм
.
Поскольку
A
т
по
-
лучается из матрицы
A
заменой
μ
на
−
μ
,
то и
L
имеет вид матрицы
L
после замены
μ
на
−
μ
.
Подставляя
(5)
в систему
(4)
и умножая слева на
L
,
получим
y
00
+ Λ
y
+
α
−
1
L F
(
Ly, Ly
0
) = 0
,
Λ =
diag
(
ω
2
1
, ω
2
2
)
, α
= 1
−
μ
2
(
ω
2
2
−
k
)
2
>
0
.
(6)
В системе
(6)
сделаем еще одну замену переменных
:
y
1
=
1
2
(
u
1
+ ˉ
u
1
)
, y
0
1
=
iω
1
2
(
u
1
−
ˉ
u
1
)
,
y
2
=
1
2
(
u
2
+ ˉ
u
2
)
, y
0
2
=
iω
2
2
(
u
2
−
ˉ
u
2
);
(7)
здесь черта означает комплексное сопряжение
.
Система
(6)
примет вид
u
0
1
=
iω
1
u
1
+
i
ω
1
α
−
1
Φ
1
,
u
0
2
=
iω
2
u
2
+
i
ω
2
α
−
1
Φ
2
,
(8)
где
Φ
1
=
β
1
x
2
1
x
0
1
+
γ
1
x
0
3
1
−
μ
ω
2
2
−
k
(
β
2
x
2
2
x
0
2
+
γ
2
x
0
3
2
)
,
Φ
2
=
β
2
x
2
2
x
0
2
+
γ
2
x
0
3
2
−
μ
ω
2
2
−
k
(
β
1
x
2
1
x
0
1
+
γ
1
x
0
3
1
)
.
(9)
В выражениях
(9)
необходимо сделать последовательно замены пе
-
ременных
(5)
и
(7).
Уравнения для сопряженных переменных не выпи
-
саны
.
Для того чтобы воспользоваться критерием Каменкова в случае
двух пар чисто мнимых корней
[6],
необходимо в системе
(8)
провести
нелинейную нормализацию
,
после которой в преобразованной систе
-
ме будут присутствовать только резонансные члены
.
Предполагая
,
что
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
3
41
