Влияние нелинейных диссипативных сил на устойчивость циркуляционной системы - page 5

Поскольку коэффициенты при z 1z 2 ˉ z 2 и z 1z 2 ˉ z 1 имеют разные знаки, то
условием асимптотической устойчивости системы (13) является поло - жительность коэффициентов при z 2
1 ˉz1 и z 2
2 ˉ z2 [6], т.е . неравенство
a < β <
1
a
. (14)
При выполнении неравенств
0 < β < a или β >
1
a
(15)
система (13) неустойчива . Это следует из существования неограничен - но растущего решения по ρ1 ( ρ2 ≡ 0) или по ρ2 (ρ1 ≡ 0). Переменные
ρ 1, ρ 2 связаны с z 1, z2 соотношениями z 1 = qρ1 eiφ1 , z2 = qρ2 eiφ2 .
Случай β1 = β2 = 0 рассматривается аналогично. Условие асим - птотической устойчивости и условия неустойчивости совпадают с не -
равенствами (14) и (15) при замене β на γ =
γ1
γ2
.
Заметим, что выводы об устойчивости сохраняются и для полной
нелинейной системы [7]. Из полученных результатов следует, что влияние нелинейных дис- сипативных сил на циркуляционную систему неоднозначно : они мо- гут как стабилизировать до асимптотической устойчивости устойчи - вую циркуляционную систему, так и дестабилизировать ее. Действи-
тельно , при μ4 < k − 1
2
4 линейная циркуляционная система устой-
чива , а, например, при β < 1 становится неустойчивой. Случай внутреннего резонанса ω1 = 3ω2 резко усложняет задачу
устойчивости и требует отдельного рассмотрения. Анализ устойчиво- сти при этом резонансе является предметом дальнейшего исследова - ния .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А г а ф о н о в С. А. К вопросу устойчивости неконсервативных систем // Изв. АН СССР. МТТ. – 1986. – № 1. – С. 47–51.
2. М е р к и н Д . Р. Введение в теорию устойчивости движения. – М.: Наука, 1971.
– 312 с .
3. С е й р а н я н А . П. Парадокс дестабилизации в неконсервативных системах // Успехи механики. – 1990. – Т. 13, № 2. – С. 89–124.
4. H a g e d o r n P. On the destabilizing effect of non-linear damping in non-conservative
systems with follower forces // Int. J. Non-Linear Mech. – 1970. – V. 5, № 2. – P. 341–
358.
5. А г а ф о н о в С. А ., Г е о р г и е в с к и й Д . В. Динамическая устойчивость
стержня с нелинейной внутренней вязкостью под действием следящей силы // Докл. АН. – 2004. – Т. 396, № 3. – С. 339–342.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 3 43