Условимся
,
что
G
(
t
)
{
α
∗
,
β
∗
}
—
распределение
,
сосредоточенное в од
-
ной точке
t
∈
[
τ
1
,
τ
2
]
при
α
∗
=
β
∗
.
Для нахождения абсолютного максимума
T
∗
(
x
)
необходимо опре
-
делить другое разбиение
{
I
∗
α
}
промежутка
[
x
,
+
∞
),
удовлетворяющее
условиям
1)—3),
в условии
2)
знак неравенства изменить на обратный
,
а затем воспользоваться теоремой
1.
В дальнейшем будут полезны следующие теоремы
.
Теорема
2
[2].
Пусть
f
0
(
x
)
и
n
(
x
)
—
соответственно плотности
вероятностей распределений
F
0
(
x
)
и
π
(
x
)
.
Если отношение
γ
(
x
)
:
=
n
(
x
)
f
0
(
x
)
является невозрастающей функцией на промежутке
J,
то весь этот
промежуток принадлежит разбиению
{
I
∗
α
}
.
Если
γ
(
x
)
—
строго возра
-
стающая функция в своей области определения
X ,
то каждая точка
x
∈
X
принадлежит
{
I
∗
α
}
.
Теорема
3
[2].
Пусть
f
i
(
x
)
—
плотность вероятностей распреде
-
ления
F
i
(
x
)
, i
=
0
,
1
.
Если отношение
γ
(
x
)
:
=
f
1
(
x
)
f
0
(
x
)
является неубывающей функцией на некотором промежутке
J,
то весь
промежуток
J
принадлежит разбиению
{
I
∗∗
α
}
.
Пример
.
Рассмотрим случай
,
когда величины
X
(
0
)
и
X
(
t
1
)
имеют
нормальный закон распределения с математическими ожиданиями
m
0
,
m
1
и дисперсиями
σ
2
0
,
σ
2
1
соответственно
.
Чтобы в начальный момент
времени доля негодных изделий была очень малой
,
будем полагать
m
0
>
3
σ
0
.
Рассмотрим функцию
γ
(
x
) =
1
C
σ
0
σ
1
exp
½
−
(
x
−
m
1
)
2
2
σ
2
1
+
(
x
−
m
0
)
2
2
σ
2
0
¾
и найдем промежутки ее возрастания и убывания
.
Если функция
γ
(
x
)
неубывающая на промежутке
J
,
то этот промежу
-
ток целиком принадлежит разбиению
{
I
∗∗
α
}
.
Когда функция
γ
(
x
)
строго
убывающая в своей области определения
X
,
то каждая точка
x
∈
X
при
-
надлежит
{
I
∗∗
α
}
.
Докажем следующее утверждение
.
Лемма
.
Пусть плотность вероятностей имеет вид
F
1
(
x
) =
(
0
при
x
<
x
,
C f
(
x
)
при
x
>
x
,
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2 45
