образование кратных корней дисперсионного уравнения при поглоще-
нии света в кристалле, которые соответствуют точкам поворота [1].
В настоящее время интенсивно изучаются физические свойства ФК
[2–5]. В литературе отсутствует исследование случая кратных корней
дисперсионного уравнения для ФК. В связи с этим в настоящей работе
была поставлена задача нахождения условий для такой особенности
дисперсионного уравнения.
Рассмотрим важный случай, когда волновой вектор электромаг-
нитной волны перпендикулярен плоской границе одномерного ФК.
Рассмотрим волны с круговой поляризацией. Обычно магнитная вос-
приимчивость принимается равной нулю в видимой области спектра.
Тогда из уравнений Максвелла получим волновое уравнение
∂
2
E
±
∂z
2
−
1
c
2
∂
2
(
ε
±
E
±
)
∂t
2
= 0
,
(1)
где
z
— ось декартовой системы координат, перпендикулярная гра-
ничной поверхности ФК;
c
— скорость света;
ε
±
— цилиндрические
компоненты диэлектрической функции. Ищем решение уравнения ме-
тодом связанных волн [6] в следующей форме:
E
±
(
t, z
) =
e
±
(
ω, k, z
)
e
−
iωt
+
ikz
.
(2)
Здесь
e
±
(
ω, k, z
) =
∞
X
n
=
−∞
e
±
n
(
ω, k
)
e
ingz
;
g
= 2
π/a
;
a
— параметр кри-
сталлической решетки;
ω
— круговая частота;
k
— волновой вектор.
Диэлектрическую функцию ФК разложим в ряд Фурье
ε
±
(
z
) =
X
l
ε
±
l
e
i
lg
z
;
ε
±
l
=
1
a
a
Z
0
ε
±
(
z
)
e
−
i
lg
z
dz, l
= 0
,
±
1
,
±
2
,
±
. . .
(3)
Из ряда (3) использовали слагаемые с номерами
l
, равными
0
,
±
1
.
После подстановки решения (2) в уравнение (1) была получена беско-
нечная система линейных уравнений для определения фурье-амплитуд
e
±
n
(
ω, k
)
, n
= 0
,
±
1
,
±
2
, . . . ,
±∞
. Ограничимся приближением, для
которого выполнено условие
n
= 0
,
±
1
. Введем следующие обозначе-
ния:
k
0
=
ω/c
;
g
0
=
g/k
0
;
K
=
k/k
0
. В результате из (1) и (2) получим
дисперсионное уравнение
D
(
ω, k
) =
K
6
−
a
2
K
4
+
a
4
K
2
−
a
6
= 0
,
(4)
a
2
= 3
ε
0
+2
g
2
0
;
a
4
= 3
ε
2
0
−
2
ε
−
1
ε
1
+
g
4
0
;
a
6
=
ε
3
0
−
2
ε
−
1
ε
0
ε
1
−
2(
ε
2
0
−
ε
−
1
ε
1
)
g
2
0
+
+
ε
0
g
4
0
. Для наличия кратных корней должны быть выполнены условия
∂D
∂k
= 0;
∂D
∂ω
6
= 0
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
41
