где
p, q
— индексы локальных задач, изменяющиеся в пределах от 1
до 3 (всего девять различных задач
L
pq
);
σ
ij
(
pq
)
,
ε
kl
(
pq
)
— компонен-
ты тензоров напряжений и деформаций в
˜
V
ξ
;
U
i
(
pq
)
(
ξ
s
)
— компоненты
векторов перемещений (искомые неизвестные функции задачи);
ξ
s
—
“локальные” безразмерные декартовы координаты в 1/8 ЯП, значения
которых изменяются на отрезке
0
≤
ξ
s
≤
0
,
5
;
/i
=
∂/∂ξ
i
— опера-
торы дифференцирования по локальным координатам;
[
U
i
(
pq
)
]
— скач-
ки функций на поверхностях раздела
˜Σ
ξαN
компонентов композита,
α
= 1
, . . . , N
−
1
— номер слоя;
C
ijkl
(
ξ
s
)
— компоненты тензоров мо-
дулей упругости структурных компонентов композита (армирующих
нитей и матрицы).
Компоненты тензора модулей упругости нити в единой системе
координат
Oξ
i
ЯП3 вычисляются по формулам
C
(
α
)
ijkl
(
ξ
l
) =
C
(
α
)
ijkl
0
Q
(
α
)
m
i
(
ξ
k
)
Q
(
α
)
n
j
(
ξ
k
)
Q
(
α
)
s
k
(
ξ
k
)
Q
(
α
)
r
l
(
ξ
k
)
,
где
Q
(
α
)
m
i
(
ξ
k
)
— матрицы поворота на угол
ϕ
α
(
ξ
k
)
из единой системы
координат к собственной системе
Oξ
0
i
, связанной с ориентацией нити;
C
(
α
)
ijkl
0
— компоненты тензора модулей упругости прямолинейной нити.
Система (1) дополняется граничными условиями на торцевых по-
верхностях
Σ
0
s
=
{
ξ
s
= 0
,
5
}
1/8 ЯП3 [5, 6]:
на
Σ
0
i
:
U
i
(
pp
)
=
1
2
ˉ
ε
pp
δ
ip
, U
j
(
pp
)
/i
= 0
, U
k
(
pp
)
/i
= 0
, i
6
=
j
6
=
k
6
=
i
;
на
Σ
0
j
:
U
i
(
pq
)
=
1
4
ˉ
ε
pq
δ
ip
, U
j
(
pq
)
/j
= 0
, U
k
(
pq
)
= 0
, i, j
=
{
p, q
}
;
на
Σ
0
k
:
U
i
(
pq
)
/k
= 0
, U
j
(
pq
)
/k
= 0
, U
k
(
pq
)
= 0
, i
6
=
j
6
=
k
6
=
i, p
6
=
q.
(2)
Здесь
ˉ
ε
pq
— заданные компоненты осредненного тензора деформации,
являющиеся входными данными для задачи
L
pq
. Граничные условия
на плоскостях симметрии
Σ
s
=
{
ξ
s
= 0
}
аналогичны соотношениям
(2), в которых следует принять
ˉ
ε
pq
= 0
.
После численного решения задач
L
pq
находим поля перемещений
U
α
i
(
pq
)
и напряжений
σ
ij
(
pq
)
(
ξ
k
)
в ЯП3 при заданных значениях средних
деформаций
ˉ
ε
kl
. С их помощью можно определить компоненты тензо-
ра эффективных модулей упругости для ЯП3
ˉ
C
ijpq
= ˉ
σ
ij
(
pq
)
/
ˉ
ε
pq
(по
p
и
q
суммирования нет), средние напряжения в ЯП3 составляют
h
σ
ij
i
=
3
X
p,q
ˉ
σ
ij
(
pq
)
,
где
ˉ
σ
ij
(
pq
)
=
σ
ij
(
pq
)
=
Z
˜
V
ξ
σ
ij
(
pq
)
(
ξ
k
)
dV
ξ
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
69
