˜Φ
(
n
)
1
=
B
n
λ
n
h
R
λ
n
x
1
R
+
λ
n
h
R
λ
n
x
1
R
J
0
λ
n
r
R
,
(10)
где
J
0
— функция Бесселя первого рода нулевого порядка;
λ
n
— корень
функции Бесселя первого рода первого порядка. Это корень получа-
ем, удовлетворяя граничным условиям (3). Из условия (2) определяем
значение квадрата собственной частоты
n
-го тона осесимметричных
колебаний:
ω
2
n
=
g
λ
k
R
λ
k
h
1
+
h
2
R
.
Рассмотрим случай ненулевого значения коэффициента
γ
, когда
g
= 0
и
Φ
1
= 0
на свободной поверхности жидкости (
x
1
=
h
1
). Пола-
гаем
ω
n
комплексным числом и в дальнейшем будем обозначать как
p
n
. Потенциалы скоростей
Φ
1
,
Φ
2
ищем в комплексной форме (8). Удо-
влетворяя условиям (3), (4) и (6), получаем cоотношения, аналогичные
соотношениям (9) и (10):
Φ
1
=
∞
X
k
=1
B
k
λ
k
x
1
R
−
λ
k
h
1
R
λ
k
x
1
R
J
0
λ
k
r
R
;
(11)
Φ
2
=
∞
X
k
=1
A
k
h
λ
k
x
2
R
J
0
λ
k
r
R
i
.
(12)
Подставляя (11) и (12) в (7), определяем
(
ip
k
)
ρ
1
B
k
−
ρ
2
A
k
λ
k
h
2
R
=
−
γB
k
λ
k
R
λ
k
h
1
R
,
или
(
ip
k
)
ρ
1
−
ρ
2
λ
k
h
2
R
λ
k
h
1
R
λ
k
h
2
R
=
−
γ
λ
k
R
λ
k
h
1
R
.
(13)
Представляя
p
k
=
α
k
+
iβ
k
, из (13) получаем, что
α
k
= 0
, следовательно
колебания носят апериодический характер.
Рассмотрим случай
g
6
= 0
и используем условие на свободной
поверхности (2), которое примет вид
−
p
2
k
λ
k
h
1
R
λ
k
h
2
R
+
g
λ
k
R
λ
k
h
1
R
λ
k
h
2
R
= 0
.
(14)
Представляя
p
k
=
α
k
+
iβ
k
, из (13) и (14) определяем
U
k
(
α
k
, β
k
) = 0;
V
k
(
α
k
, β
k
) = 0
.
112
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
