4 / 11
Перейдем к индексным обозначениям осей декартовой системы
координат, заменив обозначения
x
,
y
,
z
обозначениями
x
1
, x
2
, x
3
. Ис-
пользуется теория течения и аддитивный подход к формированию
приращений деформаций. Математическая модель представляет собой
уравнения равновесия, обобщенный закон Гука, закон течения, соот-
ношения Коши, уравнения совместности полных деформаций, крите-
рий текучести Мизеса, соотношение для расчета контактных давлений
расширенного метода Лагранжа, граничные условия:
σ
ij,j
= 0;
ε
ij
=
1 +
ν
E
σ
ij
−
ν
E
δ
ij
σ
kk
;
dε
P
ij
=
s
ij
dλ
;
ε
ij
=
1
2
(
u
i,j
+
u
j,i
) ;
∂
2
ε
ik
∂x
j
∂x
l
+
∂
2
ε
jl
∂x
i
∂x
k
=
∂
2
ε
il
∂x
j
∂x
k
+
∂
2
ε
jk
∂x
i
∂x
l
;
(
σ
1
−
σ
2
)
2
+ (
σ
2
−
σ
3
)
2
+ (
σ
3
−
σ
1
)
2
= 2Φ
ε
P
2
;
p
(
x
i
) =
Kδ
+
λ, x
i
∈
S
O
4
;
σ
33
=
p, x
3
∈
S
N
1
,
u
1
(
x
2
) = 0
, u
2
(
x
1
) = 0
, x
1
, x
2
∈
S
N
2
+
S
O
2
,
u
i
(
x
3
) = 0
, x
3
∈
S
O
1
,
где
σ
ij
и
ε
ij
— декартовы компоненты тензоров напряжений и дефор-
маций;
u
i
— компоненты вектора перемещений;
E
— модуль Юнга;
ν
— коэффициент Пуассона;
δ
ij
— символ Кронекера;
s
ij
— девиа-
тор текущих напряжений;
σ
1
, σ
2
, σ
3
— главные напряжения;
dλ, λ
—
множители Лагранжа;
Φ
ε
P
— задаваемая функция кривой упрочне-
ния материала;
p
— контактное давление;
K
— контактная жесткость;
δ
— зазор между контактирующими поверхностями;
σ
33
— компонента
тензора напряжений.
Контактирующие поверхности сформированы следующим обра-
зом. На ровные поверхности тел, параллельные плоскости
xy
, наносит-
ся сетка узлов размером 4
×
4, которые затем сдвигаются по нормали к
поверхности на 0. . . 5 мкм в соответствии с масштабированной фрак-
тальной функцией Веерштрасса –Мандельброта [8]. Принятые пара-
метры функции: размер поверхности
L
= 0
,
0225
м; фрактальная ше-
роховатость
G
= 1
∙
10
−
6
мм; фрактальная размерность
D
= 2
,
3
; мас-
штабный параметр
γ
= 1
,
5
; число волн
M
= 10
; максимальный номер
частоты
n
max
= 17
; длина отсечки
L
s
= 1
∙
10
−
2
мм. Полученная не-
гладкая поверхность, использованная в расчетах, показана на рис. 1,
б
.
Задача деформирования решается в квазистатической постановке.
Материал тел — медь М2 с модулем упругости
Е
= 120
ГПа и коэф-
фициентом Пуассона
μ
= 0
,
38
. Предположим, что материал изотроп-
но упрочняющийся, диаграмма пластического деформирования, взятая
114
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1