В системе (2) производные берутся по переменной
τ
, а
k
=
λ
1
λ
1
+
λ
2
.
Можно показать, что при выполнении неравенства
k
(1
−
k
) +
ν
2
0
<
1
4
(3)
линейная система при
β
i
=
γ
i
= 0
устойчива. Характеристическое
уравнение имеет две пары чисто мнимых корней:
±
iω
1
,
±
iω
2
, где
ω
1
, ω
2
удовлетворяют уравнению частот
ω
4
−
ω
2
+
k
(1
−
k
) +
ν
2
0
= 0
.
Для удобства представим систему (2) в матричной форме
x
+
Ax
+
F
(
x, x
) = 0
,
(4)
где
x
= (
x
1
, x
2
)
т
,
A
=
k ν
0
−
ν
0
1
−
k
,
F
= (
F
1
, F
2
)
т
,
F
1
=
β
1
x
2
1
x
1
2
n
−
1
+
γ
1
x
1
2
n
+1
,
F
2
=
β
2
x
2
2
x
2
2
n
−
1
+
γ
2
x
2
2
n
+1
.
Линейная и нелинейная нормализация.
В системе (4) сделаем
линейную замену переменных:
x
=
Ly, y
= (
y
1
, y
2
)
т
,
L
=
⎛
⎜⎝
1
ν
0
ω
2
2
−
k
ν
0
1
−
k
−
ω
2
1
1
⎞
⎟⎠
.
(5)
Поскольку линейная система является неконсервативной (матри-
ца
A
не является симметрической), то для перехода к нормальным
координатам необходимо провести анализ сопряженной системы
x
+
A
т
x
= 0
и найти сопряженную матрицу
L
∗
собственных форм. Поскольку ма-
трица
A
т
получается из матрицы
A
заменой
ν
0
на
−
ν
0
, то и
L
∗
имеет
вид матрицы
L
после замены
ν
0
на
−
ν
0
, Матричное уравнение (4)
преобразуется к виду
y
+ Λ
y
+
α
−
1
F
(
Ly, Ly
) = 0
,
(6)
где
Λ =
diag
(
ω
2
1
, ω
2
2
)
,
α
= 1
−
ν
2
0
(
ω
2
2
−
k
)
2
>
0
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
55
