В системе (6) сделаем еще одну замену переменных
y
1
=
1
2
(
u
1
+
u
1
)
, y
1
=
iω
1
2
(
u
1
−
u
1
);
y
2
=
1
2
(
u
2
+
u
2
)
, y
2
=
iω
2
2
(
u
2
−
u
2
)
.
(7)
Относительно новых переменных
u
1
, u
2
система принимает вид
u
1
=
iω
1
u
1
+
i
ω
1
α
−
1
Φ
1
;
u
2
=
iω
2
u
2
+
i
ω
2
α
−
1
Φ
2
,
(8)
где
Φ
1
=
β
1
x
2
1
x
1
2
n
−
1
+
γ
1
x
1
2
n
+1
−
δ
(
β
2
x
2
2
x
2
2
n
−
1
+
γ
2
x
2
2
n
+1
);
Φ
2
=
β
1
x
2
1
x
1
2
n
−
1
+
γ
1
x
1
2
n
+1
−
δ
(
β
1
x
2
1
x
1
2
n
−
1
+
γ
1
x
1
2
n
+1
);
δ
=
ν
0
ω
2
2
−
k
.
(9)
В выражениях (9) необходимо последовательно провести замены
переменных (5) и (7).
После линейной нормализации сделаем нелинейную нормализа-
цию, в результате в преобразованной системе будут представлены
только резонансные члены.
Предположим, что отсутствует внутренний резонанс
ω
1
= (2
m
+
+ 1)
ω
2
. С помощью полиномиального преобразования
u
k
=
z
k
+
Z
(2
n
+1)
k
(
z
1
, z
2
, z
1
, z
2
)
, k
= 1
,
2
,
(10)
где
Z
(2
n
+1)
k
— однородная форма порядка
(2
n
+ 1)
, систему (8) можно
привести к нормальной форме до членов
(2
n
+ 1)
включительно.
Члены тождественного резонанса в первом уравнении —
A
11
z
n
+1
1
z
n
1
и
A
12
z
1
z
n
2
z
n
2
, во втором уравнении —
A
21
z
2
z
n
1
z
−
n
1
и
A
22
z
n
+1
2
z
n
2
.
В результате преобразований нормализованная система принимает
вид
z
1
=
iω
1
z
1
+
A
11
z
n
+1
1
z
n
1
+
A
12
z
1
z
n
2
z
n
2
;
z
2
=
iω
2
z
2
+
A
21
z
2
z
n
1
z
−
n
1
+
A
22
z
n
+1
2
z
n
2
.
(11)
В системе (11) коэффициенты
A
ij
определяются формулами
A
11
=
−
(2
n
−
1)!
ω
2
n
−
2
1
2
2
n
(
n
+ 1)!(
n
−
1)!
α
[
β
1
+ (2
n
+ 1)
ω
2
1
γ
1
−
−
δ
2
n
+2
(
β
2
+ (2
n
+ 1)
ω
2
1
γ
2
)];
56
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
