УДК 531.36
Т. В. М у р а т о в а
О СТАБИЛИЗАЦИИ ЦИРКУЛЯРНОЙ
СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫМИ
ДИССИПАТИВНЫМИ СИЛАМИ
Решена задача о стабилизации циркулярной системы с двумя сте-
пенями свободы нелинейными диссипативными силами. Показано,
что влияние диссипативных сил неоднозначно — они могут как
стабилизировать циркулярную систему вплоть до асимптотиче-
ской устойчивости, так и дестабилизировать ее.
E-mail:
Ключевые слова
:
стабилизация, асимптотическая устойчивость, цирку-
лярная система, диссипативные силы, функция Ляпунова.
Уравнения движения циркулярной системы под действием
диссипативных сил
. Под циркулярной системой понимается ме-
ханическая система, находящаяся под действием потенциальных и
позиционных неконсервативных сил. Последние линейно зависят от
координат и характеризуются кососимметрической матрицей. Уравне-
ния движения циркулярной системы с двумя степенями свободы при
действии нелинейных диссипативных сил можно привести к виду
¨
x
1
+
λ
1
x
1
+
νx
2
=
−
∂R
∂
˙
x
1
;
¨
x
2
+
λ
2
x
2
−
νx
1
=
−
∂R
∂
˙
x
2
,
(1)
где функция Релея
R
(
x
1
,
˙
x
1
.x
2
,
˙
x
2
)
имеет вид
R
=
1
2
n
(
β
1
x
2
1
˙
x
2
n
1
+
β
2
x
2
2
˙
x
2
n
2
)+
+
1
2
n
+ 2
(
γ
1
˙
x
2
n
+2
1
+
γ
2
˙
x
2
n
+2
2
)
, β
i
, γ
i
>
0
, i
= 1
,
2
.
Случай
n
= 1
был детально исследован в работе [1]. Рассмотрим
общий случай любого
n
∈
N
. Приведем систему (1) к безразмерному
виду, введя безразмерное время
τ
=
√
λ
1
+
λ
2
t
. Отметим, что указан-
ная замена корректна, так как необходимым условием устойчивости
системы (1) является неравенство
λ
1
+
λ
2
>
0
при
R
= 0
. Система (1)
примет вид
x
1
+
kx
1
+
ν
0
x
2
+
β
1
x
2
1
x
1
2
n
−
1
+
γ
1
x
1
2
n
+1
= 0;
x
2
+ (1
−
k
)
x
2
−
ν
0
x
1
+
β
2
x
2
2
x
2
2
n
−
1
+
γ
2
x
2
2
n
+1
= 0
,
(2)
где
ν
0
=
ν
λ
1
+
λ
2
, а обозначения для коэффициентов при нелинейных
слагаемых сохранены прежними.
54
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
