В соответствии с принятой схематизацией кавитационного течения
(см. рис. 1) для случая
G
C
G
у
жидкость представляется в виде “не-
протекающего клапана”, перекрывающего выходное сечение газовой
фазе и регулирующего тем самым давление газа в каверне [3].
Линеаризованная система уравнений (1)–(4) с учетом зависимости
для сжимаемости газа в каверне, постоянства значений давления на
входе кавитатора (
P
2
=
const) и массового расхода газа, подаваемо-
го за кавитатор через шайбу (см. рис. 1) в магистрали подачи газа с
критическим значением перепада давления на ней, а также в пред-
положении, как и в других моделях, массы газа в каверне неизмен-
ной, позволяет получить обыкновенное дифференциальное уравнение
с запаздывающим аргументом, описывающее динамику ограниченной
газовой каверны [4],
d
2
δV
к
dt
2
+
ε
dδV
к
dt
+
α
0
δV
к
+
α
1
δV
к
(
t
−
τ
) = 0
,
(5)
где
ε
=
F
к0
ρ
ж
/
(
λK
)
;
α
0
=
E
к
/
(
λl
к0
)
;
α
1
=
FE
к
/
(
λKξ
2
v
20
l
ж
0
)
;
E
к
—
сжимаемость газа в каверне;
K
=
μF
0
r
ρ
ж
2(
P
4
−
P
C
)
;
δV
к
=
F
к0
δl
к
.
Анализ уравнения (5) позволил исследовать устойчивость рассма-
триваемого кавитационного образования, методом
D
-разбиения найти
границы областей устойчивости и выявить условия возникновения ко-
лебаний [4].
Предложенная схематизация кавитационного образования и разра-
ботанная на ее основе математическая модель отражают основные фи-
зические особенности рассматриваемого гидродинамического процес-
са. Используемые и полученные уравнения и соотношения на основе
данного подхода позволяют не только проанализировать особенности
динамики собственно ограниченной искусственной газовой каверны,
но и использовать их для исследования динамики течения жидкости
в трубопроводных гидросистемах. Для этого, в частности, на основе
той же линеаризованной системы уравнений (1)–(4), полагая в соотно-
шении (2)
P
2
6
=
const и принимая изменение возмущенных значений
параметров от времени в форме
δ
Π(
t
) =
δ
Π
0
exp(
iωt
)
, где
δ
Π
0
, ω
—
амплитудное значение и частота изменения параметра соответствен-
но, можно получить выражение для импеданса в сечении 2 – 2 подво-
дящего трубопровода на входе ограниченной искусственной газовой
каверны в виде [5]
z
2
=
δP
2
δv
2
=
R
2
−
z
22
exp (
−
iωτ
)
.
(6)
Здесь
R
2
=
ξ
к
ρ
ж
v
20
;
z
22
= [
B
(
ω
)
/z
0
2
+ 1
/z
00
2
]
−
1
;
z
0
2
=
−
FE
к
/
(
ωV
к0
)
—
составляющая импеданса, учитывающая сжимаемость среды в объеме
120
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
