Тогда динамика изменения объема кавитационного образования
может быть описана уравнением Ван дер Поля [6]
d
2
δV
к
dt
2
−
[(
α
1
τ
−
ε
)
−
ηδV
2
к
]
dδV
к
dt
+
ω
2
0
δV
к
= 0
.
(8)
В уравнении (8)
ω
0
=
√
α
0
+
α
1
.
С учетом (7) выражение для импеданса в сечении 2–2 на входе
кавитатора вместо (6) принимает вид
z
2
=
R
2
+ 1 +
3
4
ηA
2
p
z
22
exp(
−
iωτ
)
,
(9)
где
A
p
– амплитудное значение колебаний давления газа в каверне.
Приравнивая действительную и мнимую части импеданса (9) соот-
ветственно значениям Re
z
2
гр
и Im
z
2
гр
на границе устойчивости, полу-
чаем систему трансцендентных уравнений для определения амплитуд
и частот автоколебательных процессов в виде [6]
Re
ˉ
z
22
cos(
ω τ
) +
Im
ˉ
z
22
sin(
ω τ
)
Re
ˉ
z
22
sin(
ω τ
) +
Im
ˉ
z
22
cos(
ω τ
)
=
Re
ˉ
z
2
гр
−
ˉ
R
2
−
Im
ˉ
z
2
гр
;
(
A
p
)
2
=
Re
ˉ
z
2
гр
−
ˉ
R
2
Re
ˉ
z
22
cos(
ω τ
) +
Im
ˉ
z
22
sin(
ω τ
)
−
1
3
4
η
−
1
,
(10)
где
ω
— частота автоколебаний,
ˉ
R
2
=
R
2
/z
0
,
ˉ
z
22
=
z
22
/z
0
,
z
0
=
ρ
ж
a
.
Как следует из выражения (10), в данном случае характерная осо-
бенность процесса — это независимость частоты автоколебаний от
амплитуды.
Настройки проектных параметров разработанной математической
модели, проведенные на основе гибридных методов глобальной опти-
мизации, позволяют удовлетворительно согласовать расчетные и экс-
периментальные данные по динамическим характеристикам процесса
пульсаций в рассматриваемой системе [8].
Соотношения (10) отвечают общему характеру поведения подоб-
ных систем при наличии запаздывания. Устойчивость предельных ци-
клов автоколебаний можно оценить либо по знаку коэффициента за-
тухания в переходных процессах установления стационарных циклов
автоколебаний, либо по методу
D
-разбиения.
Анализ уравнения (8) показывает, что в случае существенного от-
клонения параметров системы в зону неустойчивости установившиеся
автоколебания все более будут отличаться от гармонических и в итоге
в системе устанавливаются релаксационные автоколебания, характе-
ризующиеся значением размаха колебаний, соизмеримым со средним
уровнем давления в потоке. Колебания в таком случае имеют характер
122
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
