параметр. Приближения нулевого и первого порядка малости можно
получить либо отбрасывая члены более высокого порядка малости в
дифференциальных уравнениях, либо используя разложение по мало-
му параметру в предполагаемом решении [2]. В работе [3] утверждает-
ся, что во многих важных случаях векторы
E
0
и
H
0
можно разложить
в асимптотические ряды вида
E
0
= exp(
ik
0
℘
(
r
))
m
≥
0
e
(
m
)
(
ik
0
)
m
, H
0
= exp(
ik
0
℘
(
r
))
m
≥
0
h
(
m
)
(
ik
0
)
m
.
Отметим, что форма решения (векторы
E
0
и
H
0
) при этом име-
ет сомножитель, разложенный по малому параметру, а экспоненци-
альный сомножитель содержит большой параметр. Если экспоненту
разложить в степенной ряд и эти разложения перемножить, то оцен-
ки порядка малости оставленных членов могут оказаться несостоя-
тельными. Кроме того, практическая реализация метода разложения в
ряд по малому параметру в рассматриваемом случае приводит к от-
брасыванию членов со старшей производной из системы уравнений
классической электродинамики. В теории возмущений это соответ-
ствует случаю так называемых сингулярных возмущений. Разложение
в ряд по малому параметру при этом может содержать члены порядка
дробных степеней малого параметра, порядка логарифма малого па-
раметра, порядка произведения малого параметра на логарифм малого
параметра и т.п. Использование регулярной части метода разложения
решения в рассматриваемом случае влечет за собой потерю информа-
ции о так называемом “пограничном слое” точного решения задачи.
По-видимому, этим объясняется тот факт, что допущения геометри-
ческой оптики [1] не справедливы на границе геометрической тени,
вблизи фокуса, в мутной среде и в средах с сильным поглощением.
В настоящей работе исследовано распространение электромагнит-
ной волны в неоднородной среде без привлечения аппарата теории
малого параметра.
Система уравнений классической электродинамики в линейном
приближении для пространственно неоднородной изотропной непро-
водящей среды имеет вид
div
D
=
ρ
;
div
B
= 0;
rot
E
=
−
∂B
∂t
;
rot
H
=
∂D
∂t
.
(1)
Материальные уравнения среды запишем в общепринятой форме
D
(
r, t
) =
ε
(
r
)
ε
0
E
(
r, t
);
B
(
r, t
) =
μ
(
r
)
μ
0
H
(
r, t
)
,
(2)
полагая, что зависимости диэлектрической и магнитной проницаемо-
стей среды от радиус-вектора точки наблюдения описываются доста-
52
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
