Система координат и ориентация векторов электромагнитной волны
функции
Φ(
r
)
на вектор
E
в векторно-матричной форме [4]:
∇
Φ =
⎡
⎣
Φ
x
Φ
y
Φ
z
⎤
⎦
;
E
=
⎡
⎣
E
x
E
y
E
z
⎤
⎦
;
∇
Φ
×
E
=
⎡
⎣
0
−
Φ
z
Φ
y
Φ
z
0
−
Φ
x
−
Φ
y
Φ
x
0
⎤
⎦
·
⎡
⎣
E
x
E
y
E
z
⎤
⎦
.
В векторно-матричной форме записи последнее соотношение имеет
компактный вид:
ˆΦ
·
E
. Повторное применение операции векторно-
го произведения к
∇
Φ
и полученному результату позволяет записать
уравнение (10) для напряженности электрического поля в форме од-
нородного векторно-матричного уравнения
( ˆΦ
·
ˆΦ +
a
2
·
ˆ
δ
)
·
E
= 0
, a
2
=
ω
2
εμε
0
μ
0
.
(13)
Матрица
ˆ
δ
в уравнении (13) является единичной. Внешне уравнение
(13) отличается по своей структуре от первого из уравнений (11), но
оно сводится к последнему, если воспользоваться следствием (8) “ро-
торных” уравнений, согласно которому
∇
Φ
⊥
E,
т.е.
Φ
x
·
E
x
+ Φ
y
·
E
y
+ Φ
z
·
E
z
= 0
.
Нетривиальное решение уравнения (13) существует, если матрица его
коэффициентов особенная:
ˆΦ
·
ˆΦ +
a
2
·
ˆ
δ
= 0
.
(14)
Раскрывая определитель в левой части соотношения (14), прихо-
дим к уравнению (12).
По внешнему виду форма записи уравнения (12) совпадает с из-
вестным в геометрической оптике уравнением эйконала, методы реше-
ния которого хорошо разработаны. Однако между уравнением (12) и
уравнением эйконала существуют различия. Так, уравнение (12) явля-
ется точным результатом теории в специальных условиях наблюдения,
но без ограничений на длину волны. Уравнение эйконала является при-
ближенным результатом, учитывающим малость длины волны, но при
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
55
