“Роторные” уравнения системы (4) приобретают при этом следую-
щий вид:
∇
Φ
×
E
=
ωμμ
0
H
;
∇
Φ
×
H
=
−
ωεε
0
E.
(7)
В уравнениях (7) опущены явные указания на зависимости рас-
сматриваемых физических величин от координат точки наблюдения.
Структура уравнений системы (7) предопределяет взаимную ортого-
нальность векторных величин:
E
⊥∇
Φ
, H
⊥∇
Φ
, E
⊥
H.
(8)
С учетом этого из уравнений (6) следует, что должны быть выполнены
соотношения
E
· ∇
ε
= 0;
H
· ∇
μ
= 0
⇒
E
⊥∇
ε
;
H
⊥∇
μ.
(9)
Система уравнений (7) сводится к уравнению для напряженности
электрического поля
E
или к уравнению для напряженности магнит-
ного поля
H
:
∇
Φ
×
(
∇
Φ
×
E
) =
−
ω
2
εμε
0
μ
0
E
;
∇
Φ
×
(
∇
Φ
×
H
) =
−
ω
2
εμε
0
μ
0
H.
(10)
Идентичность первого и второго уравнений (10) предопределяет оди-
наковый характер зависимости напряженностей рассматриваемых
электрического и магнитного полей от пространственных координат.
Раскрывая двойные векторные произведения в уравнениях (10) и
учитывая необходимые условия (8), получаем уравнения
(
∇
Φ
·∇
Φ
−
a
2
)
·
E
= 0; (
∇
Φ
·∇
Φ
−
a
2
)
·
H
= 0;
a
2
=
ω
2
εμε
0
μ
0
.
(11)
Нетривиальное решение уравнений (11) существует, если выпол-
нено условие (дисперсионное уравнение)
∇
Φ
· ∇
Φ =
a
2
.
(12)
Отметим, что при выполнении условия (12) уравнения (11) обраща-
ются в тождества при произвольных векторах
E
и
H
. Однако следует
иметь в виду, что решение рассматриваемой задачи получено с уче-
том весьма жестких ограничений (8) и (9). Эти ограничения выпол-
нены, в частности, для одномерного случая, в котором направления
градиентов диэлектрической проницаемости среды, магнитной про-
ницаемости среды и искомой функции
Φ
совпадают и не изменяются
в пространстве, а векторы
E
и
H
ортогональны градиенту искомой
функции Ф и взаимно ортогональны (рисунок).
Условия существования решения каждого из однородных урав-
нений (10) можно получить (не используя явно необходимые усло-
вия (8)), если записать операцию векторного произведения градиента
54
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
