точно гладкими функциями, т.е. выполняется условие непрерывности
функций и их первых пространственных производных.
Решение системы уравнений (1)–(2) будем искать в форме
E
(
r, t
) =
E
(
r
) exp(
−
iωt
);
H
(
r, t
) =
H
(
r
) exp(
−
iωt
)
,
(3)
круговую частоту
ω
принимаем постоянной действительной положи-
тельной величиной. Для объемной плотности стороннего электриче-
ского заряда полагаем справедливым соотношение
ρ
(
r, t
) =
ρ
(
r
) exp(
−
iωt
)
.
Для гармонического во времени электромагнитного поля справедливы
уравнения:
div
D
=
ρ
;
div
B
= 0;
rot
E
=
iωB
;
rot
H
=
−
iωD.
(4)
Предположим, что решение рассматриваемой системы уравнений
(4) можно записать в форме
E
(
r
) =
E
0
exp(
i
Φ(
r
));
H
(
r
) =
H
0
exp(
i
Φ(
r
))
,
(5)
где
E
0
и
H
0
— постоянные векторные величины, а скалярная функция
Φ(
r
)
— произвольная, не обязательно действительная гладкая функ-
ция точки наблюдения. Форма решения (5) описывает случай, когда
плоскость поляризации электромагнитного поля остается постоянной,
а вектор
E
0
не меняет своего направления в плоскости колебаний на-
пряженности электрического поля. Такое же замечание имеет место и
для вектора
H
0
. Отметим, что даже в случае действительной функции
Φ(
r
)
трансформация решения задачи к зависимости в форме бегущей
волны с переменной длиной волны приводит к зависимости локальной
амплитуды колебаний от координат точки наблюдения.
Очевидно, что для выбранной формы решения справедливы соот-
ношения
div
E
(
r
) =
i
∇
Φ
·
E
(
r
);
rot
E
(
r
) =
i
∇
Φ
×
E
(
r
);
div
H
(
r
) =
i
∇
Φ
·
H
(
r
);
rot
H
(
r
) =
i
∇
Φ
×
H
(
r
)
.
В приведенных выше соотношениях и далее предполагается, что
оператор Гамильтона
∇
действует только на следующую за ним функ-
цию, т.е. выражение
∇
Φ
обозначает градиент функции
Φ(
r
)
.
Отметим, что в рассматриваемом случае следствием “роторных”
уравнений в системе уравнений (4) являются однородные “дивергент-
ные” уравнения, т.е. справедливы соотношения
(
∇
ε
+
i
∇
Φ)
·
E
= 0; (
∇
μ
+
i
∇
Φ)
·
H
= 0;
ρ
(
r, t
) = 0
.
(6)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 3
53
