ной переменной; изображение
v
(0
, τ
)
определено равенствами (9),
(12) и (32); изолированная особая точка
s
= 0
для функции Вейля–
Титчмарша
m
(
s
)
, определенной равенством (25), является простым
полюсом и вычет в ней может быть найден стандартным способом
[2, 11]:
Res[
m
(
s
)]
s
=0
=
−
d
1
(
s
) +
id
2
(
s
)
c
0
3
(
s
) +
ic
0
4
(
s
)
s
=0
,
(33)
где согласно (24) и (21), (22) с учетом известных равенств, связыва-
ющих тригонометрические и гиперболические функции комплексной
переменной [2, 11], имеют место равенства
d
1
(0) +
id
2
(0) =
2
κα
α
2
2Λ
a
2
0
−
α
2
4
a
4
0
−
1 ch
h
α
2
a
2
0
−
−
2
a
2
0
Λ
−
α
2
4
a
4
0
−
1 sh
h
α
2
a
2
0
,
c
0
3
(
s
) +
ic
0
4
(
s
)
s
=0
=
1
κ
Λ
h
α
−
2
α
+
h
ch
h
α
2
a
2
0
+
+
2
a
2
0
α
2
+
2
a
2
0
−
4Λ
−
h
α
−
2
α
−
h
sh
h
α
2
a
2
0
.
(34)
Температурное поле.
Согласно равенствам (5), (6), для нахожде-
ния искомого температурного поля достаточно определить функцию
u
(
z, τ
)
, которая задана математической моделью (7), (8), фактически
представляющую собой смешанную (начально-краевую) задачу для
системы уравнений в частных производных параболического типа со
специфическими условиями сопряжения. В пространстве изображе-
ний сингулярного интегрального преобразования (9), (10) ей соот-
ветствует задача Коши для обыкновенного дифференциального урав-
нения первого порядка относительно изображения
v
(
z, τ
)
оригинала
u
(
z, τ
)
, которая с учетом (11), (17) может быть определена в виде
v
0
τ
(
s, τ
) =
−
sv
(
s, τ
) +
Q, τ >
0;
v
(
s,
0) = 0
.
(35)
Решение задачи Коши (35) может быть найдено стандартными ме-
тодами [12]:
v
(
s, τ
) =
Q
s
[1
−
exp(
−
sτ
)]
, τ
>
0
,
(36)
и для завершения процедуры нахождения функции
u
(
z, τ
)
осталось
реализовать переход от изображения
v
(
z, τ
)
к оригиналу посредством
применения оператора обращения
Φ
−
1
[
•
]
, определенного равенствами
12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
