но и от кусочно-постоянного функционала
c
(
z
)
. Все это существенно
усугубляет трудности, возникающие при определении температурных
полей в многослойных областях [2, 3, 9, 10], и возможность опреде-
ления функции
u
(
z, τ
)
в аналитически замкнутом виде посредством
применения к (7), (8) интегрального преобразования Лапласа по вре-
менной переменной
τ
[1–3] становится проблематичной.
Сингулярное интегральное преобразование.
Для достижения
поставленной цели было использовано сингулярное интегральное
преобразование по пространственной переменной
z
2
[0
,
+
∞
)
v
(
s,τ
) = Φ[
u
(
z,τ
)]
≡
∞
Z
0
u
(
z,τ
)
ρ
(
z
) ˉK(
z, s
)
dz
;
(9)
u
(
z, τ
) = Φ
−
1
[
v
(
s,τ
)]
≡
∞
Z
−∞
v
(
s,τ
)K(
z, s
)
dσ
(
s
)
,
(10)
порожденное линейным дифференциальным оператором второго по-
рядка
L
[
•
]
≡
b
(
z
)
∂
2
•
∂z
2
+
c
(
z
)
•
,
(11)
граничным условием при
z
= 0
и условиями сопряжения при
z
=
h
,
соответствующими условиям, представленным в (7). При этом
v
(
s, τ
)
— изображение оригинала
u
(
z, τ
)
;
Φ[
•
]
и
Φ
−
1
[
•
]
— операторы перехода
от оригинала к изображению и от изображения к оригиналу соот-
ветственно; K
(
z, s
)
— ядро сингулярного преобразования (9), (10) с
вещественным параметром
s
, а
ˉ
K
(
z, s
)
— комплексно-сопряженная к
нему функция;
ρ
(
z
)
и
σ
(
s
)
— весовая и спектральная функции соот-
ветственно; в (10) равенство понимается как равенство по норме в
L
2
ρ
[0
,
+
∞
)
, а
b
(
z
)
и
c
(
z
)
в правой части тождества (11) определены
равенствами (4) и (8) соответственно.
Согласно общей теории интегральных преобразований [11], в рас-
сматриваемом случае весовая функция
ρ
(
z
) = exp
−
Z
b
0
(
z
)
b
(
z
)
dz
=
= exp
{−
ln
b
(
z
)
}
=
1
, z > h
;
a
−
2
0
,
0
< z < h,
(12)
а ядро K
(
z, s
)
искомого интегрального преобразования (9), (10) опре-
деляется как решение задачи
K
00
zz
(
z, s
) +
c
(
z
)
ρ
(
z
)
K
(
z, s
) =
−
sρ
(
z
)
K
(
z, s
)
, z >
0;
(13)
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
