При этом значение
s
= 0
является корнем уравнения (27) единичной
кратности, т.е. особая точка
s
= 0
— простой полюс функции Вейля–
Титчмарша, определенной равенством (25).
Для взаимного расположения значений
α
2
/
4
a
2
0
и
α
2
/
4
на числовой
оси возможными являются лишь два случая:
а
)
α
2
4
a
2
0
<
α
2
4
,
a
2
0
>
1
и
б
)
α
2
4
a
2
0
>
α
2
4
,
a
2
0
<
1
.
В первом случае коэффициент температуропроводности слоя конечной
толщины больше его значения для покрываемого полупространства, а
во втором этот слой играет роль теплозащитного покрытия. Рассмо-
трим обе эти версии.
Если
а
2
0
>
1
и
s
2
α
2
4
a
2
0
,
α
2
4
, то уравнение (27) корней не имеет
и
d
1
(
s
)
2
R,
d
2
(
s
)
2
C,
c
3
(
s
)
2
R,
c
4
(
s
)
2
C. Таким образом, согласно
(25), справедливо тождество (28).
Если
а
2
0
<
1
и
s
2
α
2
4
,
α
2
4
a
2
0
, то уравнение (27) корней не имеет
и функционалы
d
1
(
s
)
,
d
2
(
s
)
и
c
3
(
s
)
,
c
4
(
s
)
, определенные равенства-
ми (24) и (21), (22) соответственно, принимают лишь вещественные
значения. Таким образом, в этом случае мнимая часть функции Вейля–
Титчмарша определена равенством (26), в котором, согласно (21), (22),
(24) и известным соотношениям, связывающим тригонометрические
гиперболические функции комплексной переменной [2], имеем
d
1
(
s
) =
1
κ
Λ
(
α
2
a
2
0
ch
"
h
p
α
2
−
4
a
2
0
s
2
a
2
0
#
−
2
a
2
0
p
α
2
−
4
а
2
0
s
sh
"
h
p
α
2
−
4
a
2
0
s
2
a
2
0
#)
;
d
2
(
s
) =
2
κ
√
4
s
−
α
2
ακ
2
1
−
Λ
a
2
0
d
1
(
s
)
−
−
ch
"
h
p
α
2
−
4
a
2
0
s
2
a
2
0
#
−
α
p
α
2
−
4
a
2
0
s
4
a
4
0
sh
"
h
p
α
2
−
4
a
2
0
s
2
a
2
0
#
;
(29)
с
3
(
s
) =
1
κ
Λ
(
ch
"
h
p
α
2
−
4
a
2
0
s
2
a
2
0
#
+
α
p
α
2
−
4
a
2
0
s
sh
"
h
p
α
2
−
4
a
2
0
s
2
a
2
0
#)
;
10
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
