−
cos
"
h
p
4
a
2
0
s
−
α
2
2
a
2
0
#
−
α
p
4
a
2
0
s
−
α
2
4
a
4
0
sin
"
h
p
4
a
2
0
s
−
α
2
2
a
2
0
#)
.
Далее полагаем
W
(
z, s
) =
χ
(
z, s
) +
m
(
s
)
K
(
z, s
)
и из условия
W
(
z, s
)
2
L
2
ρ
[0
,
+
∞
)
определяем функцию Вейля–
Титчмарша
m
(
s
)
(the Weyl–Titchmarch
m
-function), непосредственно
связанную со спектральной функцией
σ
(
s
)
[11, 13]. Поскольку в рас-
сматриваемом случае требование
W
(
z, s
)
2
L
2
ρ
[0
,
+
∞
)
эквивалентно
условию
W
(
z, s
)
2
L
2
ρ
[
h,
+
∞
)
и при этом, согласно (19), (21), (22),
(24) и формулам Эйлера [2, 11],
W
(
z, s
)
z>h
;
ψ
(
z
)=0
,
5(
z
−
h
)
√
4
s
−
α
2
=
= 0
,
5
{
[
d
1
(
s
)
−
id
2
(
s
)] +
m
(
s
) [
c
3
(
s
)
−
ic
4
(
s
)]
}
exp
{
iψ
(
z
)
}
+
+ 0
,
5
{
[
d
1
(
s
) +
id
2
(
s
)] +
m
(
s
) [
c
3
(
s
) +
ic
4
(
s
)]
}
exp
{−
iψ
(
z
)
}
,
то функция Вейля–Титчмарша определяется равенством
m
(
s
) =
−
d
1
(
s
) +
id
2
(
s
)
c
3
(
s
) +
ic
4
(
s
)
,
(25)
так как
exp
{
iψ
(
z
)
} 2
L
2
ρ
[
h,
+
∞
)
и
exp
{−
iψ
(
z
)
}
/
2
L
2
ρ
[
h,
+
∞
)
[11, 13].
При этом интерес представляет мнимая часть комплексной функции
m
(
s
)
, определенной равенством (25), и ее особые точки.
Если
s >
max
{
α
2
/
(4
a
2
0
)
, α
2
/
4
}
, то функционалы
d
1
(
s
)
,
d
2
(
s
)
и
с
3
(
s
)
,
с
4
(
s
)
, определенные равенствами (24) и (21), (22) соответственно, при-
нимают лишь вещественные значения и согласно (25)
Im
m
(
s
) =
d
1
(
s
)
c
4
(
s
)
−
d
2
(
s
)
c
3
(
s
)
c
2
3
(
s
) +
c
2
4
(
s
)
.
(26)
При этом уравнение
c
3
(
s
) +
ic
4
(
s
) = 0
(27)
в рассматриваемом диапазоне изменения
s
корней не имеет.
Если
s <
min
{
α
2
/
(4
a
2
0
)
, α
2
/
4
}
, то для любого возможного значе-
ния
s
из рассматриваемого диапазона
d
1
(
s
)
2
R,
d
2
(
s
)
2
C,
c
3
(
s
)
2
R,
c
4
(
s
)
2
C. Таким образом, согласно (25), при
s <
min
{
α
2
/
4
a
2
0
, α
2
/
4
}
функция Вейля–Титчмарша
m
(
s
)
принимает лишь вещественные зна-
чения и, как следствие,
Im
m
(
s
)
≡
0
.
(28)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
9
