Распределение электрического заряда по поверхности проводяще-
го уединенного эллипсоида может быть получено аналитически в за-
мкнутой форме, если исходить из физического представления о том,
что из произвольной точки внутри эллипсоида элемент площади по-
верхности эллипсоида виден под тем же телесным углом, под каким
виден сходственный элемент площади поверхности (исходный и сход-
ственный элементы площади вырезаются на поверхности эллипсо-
ида одной и той же конической поверхностью с малым углом при
вершине, в качестве которой служит произвольная точка внутри эл-
липсоида, тогда исходный элемент площади, сходственный элемент
площади и рассматриваемая точка объема лежат на одной прямой ли-
нии). Особенностью предлагаемого построения является то обстоя-
тельство, что электрические заряды на рассматриваемых элементах
поверхности создают одинаковые по величине и противоположные
по направлению векторы напряженности электростатического поля в
произвольной точке указанной прямой линии.
Рассмотрим произвольную достаточно гладкую замкнутую поверх-
ность
Φ(
x, y, z
) =
const
.
(1)
Пусть точки (
x
0
, y
0
, z
0
)
и (
x, y, z
)
принадлежат рассматриваемой
поверхности. Уравнение прямой линии, проходящей через точки
(
x
0
, y
0
, z
0
)
и (
x, y, z
)
, имеет вид
~ξ
=
~r
0
+
~r
−
~r
0
|
~r
−
~r
0
|
ζ
=
~r
0
+
ζ ~t,
(2)
где
~ζ
— радиус-вектор произвольной точки наблюдения (при выполне-
нии условия
0
< ζ <
1
точка наблюдения находится внутри замкнутой
поверхности, описанной соотношением (1));
~r
и
~r
0
— радиус-векторы
рассматриваемых точек этой поверхности;
~t
=
~r
−
~r
0
|
~r
−
~r
0
|
— единич-
ный вектор направления прямой. Введем обозначения
R
=
~r
−
~ξ
и
R
0
=
~ξ
−
~r
0
. В окрестности точки
(
x, y, z
)
поверхности
Φ(
x, y, z
) =
=
const выделим элемент площади
dS
, а в окрестности точки
(
x
0
, y
0
, z
0
)
— элемент площади
dS
0
. Потребуем выполнения усло-
вия “сходственности”, т.е. равенства телесных углов, под которыми
эти элементарные площадки поверхности видны из точки наблюдения
(вектор
~ζ
):
d
Ω =
d
Ω
0
.
(3)
Условие (3) запишем в развернутом виде
dS
∙
(
~n
∙
~t
)
R
2
=
dS
0
∙
(
~n
0
∙
~t
)
R
2
0
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
21
