где
~n
=
r
Φ
.
|r
Φ
|
— единичный вектор внешней нормали к элементу
поверхности в окрестности точки
(
x, y, z
)
, а
~n
0
=
r
Φ
.
|r
Φ
|
(
x
0
,y
0
,z
0
)
— единичный вектор внешней нормали к элементу поверхности в
окрестности точки
(
x
0
, y
0
, z
0
)
. В рассматриваемой физической ситуа-
ции на замкнутой проводящей поверхности плотность электрического
заряда имеет один знак, точки
(
x, y, z
)
и
(
x
0
, y
0
, z
0
)
расположены по
разные стороны от точки наблюдения, поэтому справедливо соотно-
шение
σ dS
R
2
=
σ
0
dS
0
R
2
0
,
cмысл которого состоит в том, что электрические заряды на выде-
ленном элементарном участке поверхности и сходственном участке
поверхности создают равные по величине и противоположные по на-
правлению векторы напряженности электростатического поля, обес-
печивая постоянное значение потенциала электростатического поля в
рассматриваемом объеме на выделенной прямой линии и, как след-
ствие, в рассматриваемом объеме.
При выполнении условия (3) из приведенных соотношений следует
результат
σ
(
~n
∙
~t
)
=
σ
0
~n
0
∙
~t
.
(4)
В соответствии с полученным результатом достаточно для произволь-
ной фиксированной точки поверхности
(
x
0
, y
0
, z
0
)
задать значение ве-
личины
σ
0
и вычислить значение величины
σ
для произвольной точки
поверхности
(
x, y, z
)
, вычислить значение суммарного электрического
заряда
Q
на поверхности тела и при необходимости (условие норми-
ровки) переопределить значение величины
σ
0
. Поскольку вычисление
распределения потенциала и напряженности электростатического по-
ля вне проводящего тела с использованием принципа суперпозиции
принципиальных трудностей не составляет, задачу Робена можно счи-
тать решенной.
Рассмотрим два конкретных примера эффективности предложен-
ного метода.
Сфера.
Любые две точки на поверхности сферы и ее центр за-
дают положение плоскости, которая пересекает сферу по окружности
большого круга. Легко найти, что для рассматриваемого случая выпол-
няется условие
(
~n
∙
~t
) = (
~n
0
∙
~t
)
, что позволяет сделать заключение
о равномерном распределении электрического заряда по поверхности
проводящей сферы и при необходимости, используя принцип суперпо-
зиции, вычислить распределение потенциала и напряженности элек-
тростатического поля вне проводящей сферы.
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
