методов, в котором распределение завихренности в области течения
моделируется большим числом изолированных вихревых элементов.
Движение вихревых элементов, моделирующее эволюцию вихревого
следа, описывается системой обыкновенных дифференциальных урав-
нений, точностьрешения которой во многом определяет правильность
расчета в целом. В большинстве работ по методу вихревых элементов
для решения этой системы используется явный метод Эйлера первого
порядка точности; в то же время в работах [6, 7] указывается на воз-
можностьприменения методов более высокого порядка. Однако эти
идеи широкого распространения не получили. Авторы работы [6] в
начале 1970-х годов располагали весьма скромными вычислительны-
ми ресурсами, а основной объект исследования в монографии [7] —
спутные следы за самолетом, для моделирования которых точности
метода Эйлера достаточно. В настоящей работе представлена общая
схема расчета обтекания профиля и отмечены особенности использо-
вания метода Рунге–Кутты второго порядка точности.
Рассмотрим внешнее обтекание системы неподвижных профилей
потоком вязкой несжимаемой среды. Течение описывается уравнени-
ями неразрывности и Навье–Стокса; на бесконечном удалении от про-
филей задается условие затухания возмущений, на границе профилей
— условие прилипания.
При расчете методом вихревых элементов на каждом шаге по вре-
мени выполнение граничного условия на бесконечности и уравнения
неразрывности происходит автоматически, граничное условие прили-
пания обеспечивается генерацией новых вихревых элементов на гра-
ницах профилей, а течение вязкой жидкости моделируется движением
имеющихся вихревых элементов.
Для двумерных течений вязкой несжимаемой среды справедлив
аналог теоремы Томсона [5]: завихренностьвнутри замкнутого кон-
тура будет сохраняться, если каждая точка этого контура движется со
скоростью
V
+
W
, где
V
— скоростьжидкости,
W
— диффузион-
ная скорость, пропорциональная коэффициенту кинематической вяз-
кости. Отсюда следует, что вихревые элементы, моделирующие завих-
ренность, движутся со скоростью
V
+
W
. Тогда движение вихревых
элементов описывается системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
dr
i
(
t
)
dt
=
V
(
t, r
i
) +
W
(
t, r
i
)
.
(1)
Здесь
r
i
— радиус-вектор, задающий положение
i
-го вихревого эле-
мента;
V
(
t, r
i
)
— скоростьсреды в точке его расположения в момент
времени
t
;
W
(
t, r
i
)
— диффузионная скоростьвихревого элемента.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 1
13
