dB
z
dt
=
B
x
∂ω
∂x
−
B
z
∂u
∂x
−
R
−
1
i
∂
∂x
dv
dt
+
εn
−
1
∂
2
B
z
∂x
2
,
где
B
x
,
B
y
,
B
z
— пространственные компоненты
B
=
B/
|
B
0
|
;
u
,
v
,
ω
— пространственные компоненты
v
i
=
v
i
/V
A
.
Дисперсионное соотношение.
Рассмотрим решение системы (13)
при условии, что ee детерминант обращается в нуль, что приводит к
дисперсионному уравнению, связывающему волновое число
k
с ра-
бочей частотой
w
, и характеризующему распространение волн в дис-
персных средах.
Рассмотрим решение уравнений (13) в виде бегущей плоской гар-
монической волны
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
n
u
υ
ω
B
y
B
z
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
n
0
u
0
υ
0
ω
0
B
0
y
B
0
z
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
e
i
(
kx
−
ω t
)
+
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1
0
0
0
sin
θ
0
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
Полагая, что
n
=
δn
+ 1
, u
=
δu, υ
=
δυ, ω
=
δω, B
y
= sin
θ
+
δB
y
, B
z
=
δB
z
,
получаем решение системы уравнений (13) в виде бегущей плоской
волны
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
δn
δu
δυ
δω
δB
y
δB
z
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
n
0
u
0
υ
0
ω
0
B
0
y
B
0
z
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
e
i
(
kx
−
ωt
)
.
Дисперсионное уравнение позволяет найти функции
ω
(
k
)
и
k
(
ω
)
,
которые представляют собой многозначные аналитические функции.
Число ветвей этих функций определяется наивысшими степенями
k
и
ω
в дисперсионном уравнении.
Дисперсионное соотношение имеет вид
ω
4
(
R
−
1
e
R
−
1
i
k
2
+ 1)
2
+
ω
3
i
(2
R
−
1
e
R
−
1
i
εk
4
+ 2
εk
2
)
−
−
ω
2
(
R
−
2
e
k
4
cos
2
θ
+
R
−
2
i
k
4
cos
2
θ
+
R
−
1
e
R
−
1
i
k
4
sin
2
θ
+
k
2
(cos
2
θ
+1)+
ε
2
k
4
)
−
−
ωiεk
4
(cos
2
θ
+ 1) +
k
4
cos
2
θ
= 0
.
(14)
В пределе холодной плазмы дисперсионная кривая имеет две ветви
— альфвеновскую и магнитозвуковую. Взаимное расположение этих
44
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 1
