Начальные условия установившегося движения имеют вид
с
1
=
φ
20
=
φ
2
(0) =
φ
2
2
π
ω
;
c
2
= ˙
φ
20
= ˙
φ
2
(0) = ˙
φ
2
2
π
ω
;
c
3
=
x
30
=
x
3
(0) =
x
3
2
π
ω
;
c
4
= ˙
x
30
= ˙
x
3
(0) = ˙
x
3
2
π
ω
;
c
5
=
x
40
=
x
4
(0) =
x
4
2
π
ω
;
c
6
= ˙
x
40
= ˙
x
4
(0) = ˙
x
4
2
π
ω
,
(2)
В соотношениях (1), (2)
A, B, . . . , W
— постоянные коэффициенты;
c
1
, c
3
, c
5
, c
2
, c
4
,
c
6
– соответственно обобщенные координаты и обоб-
щенные скорости в момент, принимаемый за начало отсчета времени
t
, т.е. начальные условия установившегося движения.
Введя новые неизвестные функции
y
1
=
φ
2
;
y
2
= ˙
φ
2
;
y
3
=
x
3
;
y
4
= ˙
x
3
;
y
5
=
x
4
;
y
6
= ˙
x
4
,
получим систему уравнений в нормальной форме Коши
˙
t
= 1;
˙
y
1
=
y
2
;
˙
y
2
=
−
a
1
(
t
)
y
1
−
a
2
(
t
)
y
2
+
a
3
(
t
)
y
3
−
a
4
(
t
)
y
5
+
b
1
(
t
);
˙
y
3
=
y
4
;
˙
y
4
=
a
5
(
t
)
y
1
−
a
6
y
3
+
a
7
y
5
+
b
2
(
t
);
˙
y
5
=
y
6
;
˙
y
6
=
−
a
8
(
t
)
y
1
+
a
9
y
3
−
a
10
y
5
+
b
3
(
t
)
,
(3)
в матричной форме имеющей вид
d
dt
Y
+
A
(
t
)
·
Y
=
b,
(4)
где
Y
= [
φ
2
,
˙
φ
2
, x
3
,
˙
x
3
, x
4
,
˙
x
4
]
T
= [
y
1
, y
2
, y
3
, y
4
, y
5
, y
6
]
T
— вектор состоя-
ния (вектор искомых функций);
A
(
t
) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
1
0 0 0 0
−
a
1
(
t
)
−
a
2
(
t
)
a
3
(
t
) 0
−
a
4
(
t
) 0
0
0
0 1 0 0
a
5
(
t
)
0
a
6
0
a
7
0
0
0
0 0 0 1
−
a
8
(
t
)
0
a
9
0
−
a
10
0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
— матрица переменных коэффициентов (в частности,
а
6
,
а
7
,
а
9
и
а
10
—
постоянные);
b
= [0
, b
1
(
t
)
,
0
, b
2
(
t
)
,
0
, b
3
(
t
)]
T
— вектор правых частей.
Для нахождения общего решения уравнения (4) необходимо найти
какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения (4) и общее
решение соответствующей однородной системы [3]. Частное решение
уравнения (4) найдем при однородных начальных условиях.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
61
