Для построения общего решения однородной системы необходимо
знать фундаментальную систему частных решений, которая опреде-
ляется начальными условиями так, чтобы фундаментальная матрица
однородной системы, соответствующей системе (4), при
t
= 0
обра-
щалась в единичную матрицу.
Общее решение неоднородного уравнения (4) имеет вид [6]:
Y
(
t
) =
K
(
t
)
·
C
+
Y
0
(
t
)
,
(5)
где
K
(
t
)
— фундаментальная матрица решений однородного уравне-
ния;
C
— вектор произвольных постоянных;
Y
0
(
t
)
— частное решение
неоднородного уравнения (4).
Фундаментальную матрицу
K
(
t
)
можно получить из однородного
уравнения [6]
d
dt
Y
0
+
A
·
Y
0
= 0
,
(6)
решая его шесть раз при начальных условиях
Y
0
1
= ( 1
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0 )
T
;
Y
0
2
= ( 0
,
1
,
0
,
0
,
0
,
0 )
T
;
Y
0
3
= ( 0
,
0
,
1
,
0
,
0
,
0 )
T
;
Y
0
4
= ( 0
,
0
,
0
,
1
,
0
,
0 )
T
;
Y
0
5
= ( 0
,
0
,
0
,
0
,
1
,
0 )
T
;
Y
0
6
= ( 0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
1 )
T
.
Каждое из решений
Y
0
i
(
t
) (
i
= 1
,
2
, . . . ,
6)
, удовлетворяю-
щее этим начальным условиям, есть столбец матрицы
K
(
t
)
, поэтому
матрица
K
(
t
)
при
t
= 0
— единичная.
Частное решение неоднородного уравнения (4) получаем, решая
его при однородных (нулевых) начальных условиях:
Y
0
(
t
0
) = ( 0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
0 )
T
.
Далее, используя краевые условия (2), получаем для нахождения
компонент вектора произвольных постоянных
C
(
c
1
, c
3
, c
5
, c
2
, c
4
,
c
6
)
си-
стему линейных алгебраических уравнений:
c
1
=
6
i
=1
c
i
tY
(
i
)
1
2
π
ω
+
Y
1
2
π
ω
;
............................................................
c
6
=
6
i
=1
c
i
Y
(
i
)
6
2
π
ω
+
Y
6
2
π
ω
,
(7)
которая имеет единственное решение, так как детерминант системы
отличен от нуля. Определив постоянные
c
i
=1
,...,
6
=
= (0
,
0
,
076796
,
−
0
,
037819
,
0
,
000014
,
−
0
,
037682
,
−
0
,
000007)
T
,
(8)
62
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
