V
2
[
n
mγ
] =
γV
2
[
n
m
];
W
[
n
mγ
] =
γW
[
n
m
]
.
Тогда, используя принцип Рэлея–Ритца, получаем
2 (
T
1
[
n
m
] +
T
2
[
n
m
]) =
−
(
V
1
[
n
m
] +
V
2
[
n
m
] +
W
[
n
m
])
.
Из этого следует, что соотношение пропорциональности связывает
суммарные кинетические и потенциальные энергии составной систе-
мы, при этом условие
2
T
1
[
n
m
] =
−
(
V
1
[
n
m
] +
W
[
n
m
])
,
(2)
считающееся справедливым для любых систем заряженных частиц, в
том числе и электронного газа, находящегося в поле кристаллической
решетки, автоматически не выполняется [8–10].
В то же самое время неприменимость соотношения (2) для опи-
сания многокомпонентных систем приводит к необходимости получе-
ния аналогичных оценок для различных вкладов в полную энергию
системы. При этом особый интерес представляют консервативные си-
стемы, состоящие из частиц одного типа, находящиеся в поле, со-
зданном некоторым распределенным зарядом. Важнейшим частным
случаем такой системы является электронный газ, находящийся в по-
ле неподвижных атомных ядер. Отметим, что общепринято мнение о
применимости к системе заряженных фермионов, движущихся в по-
ле, созданном точечными неподвижными зарядами, теоремы вириала
в виде (2) [4–10].
Возвратимся к анализу квантово-механической системы, состоя-
щей из двух подсистем, представляющих собой совокупности частиц
двух видов, взаимодействующих между собой посредством кулонов-
ских сил. Гамильтониан такой системы имеет вид (1).
Учитывая, что частицы подсистем 1 и 2 различны, можно записать
ψ
gs
(
r
1
, . . . , r
N
1
;
q
1
, . . . , q
N
2
;
σ
) = Ψ
gs
(
r
;
q
;
σ
) =
ψ
(
r
)
ϕ
(
q
)
χ
(
σ
)
,
где
r
=
r
1
, . . . , r
N
1
и
q
=
q
1
, . . . , q
N
2
— совокупность координат подси-
стем 1 и 2. Условия нормировки волновой функции удобно задать в
виде
ψ
(
r
)
|
ψ
(
r
) = 1;
ϕ
(
q
)
|
ϕ
(
q
) = 1;
χ
(
σ
)
|
χ
(
σ
) = 1
,
откуда следует
Ψ (
r, q
) = 1
.
Рассмотрим матричный элемент
˜
I
γ
=
ψ
γ
|
H
|
ψ
γ
=
γ
2
¯
T
1
+ ¯
T
2
+
γ
¯
V
1
+ ¯
V
2
+
W
γ
.
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
