мя движения на заданном локальном хаотическом аттракторе равно
r
k
to
= lim
T
Σ
→∞
i
r
k
T
ЛА
i
T
Σ
.
Для системы уравнений (3) при
T
Σ
= 3
·
10
5
имеем
0
I.I
to
≈
0
,
11
,
1
I
to
≈
0
,
33
, т.е. симметричному хаотическому аттрактору системы (3)
соответствует равномерное распределение суммарного времени дви-
жения между 9 одинаковыми локальными аттракторами нулевого ран-
га и 3 одинаковыми локальными аттракторами первого ранга. Анало-
гичная картина наблюдается в системе (4), где
0
I.I
to
≈
0
,
17
,
1
I
to
≈
0
,
33
при
T
Σ
= 1
·
10
5
(6 одинаковых аттракторов нулевого ранга и 3 одина-
ковых аттрактора первого ранга).
Приведенные результаты были получены путем решения уравне-
ний движения методом Рунге–Кутты 4-го порядка (с помощьюфунк-
ции rkfixed в MATHCAD) и проверены сопоставлением с результатами
расчета с использованием функции Rkadapt, которая адаптирует зна-
чение шага к скорости изменения решения, а также функций Stiffb,
Stiffr, предназначенных для решения жестких систем дифференциаль-
ных уравнений.
Рассмотренные характеристики можно применить к любым ха-
отическим мультиаттракторам, полученным путем объединения не-
скольких исходных хаотических аттракторов. Их использование позво-
ляет проводить статистическое исследование внутренней структуры
объединенных аттракторов и выявлять соответствующие особенности
движения, объективно сравнивать динамические системы подобного
типа.
Так, сравнение уравнений (3) и (4) по данным характеристикам,
показывая существенные различия между ними на уровне исходных
хаотических аттракторов, демонстрирует заметное сходство динамики
на уровне мультиаттрактора в целом.
Следует отметить, что эту особенность композиционных мульти-
аттракторов довольно трудно выявить, исследуя другие параметры
колебаний, генерируемых подобными системами. Например, спектр
характеристических показателей Ляпунова практически одинаков для
исходного хаотического аттрактора и построенного на его основе со-
ставного мультиаттрактора.
При этом данная особенность составных мультиаттракторов пред-
ставляет значительный интерес, так как показывает возможность кон-
струирования хаотических аттракторов с наперед заданными свойства-
ми, в значительной степени независимыми от вида исходной динами-
ческой системы.
118
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
