Хаотический аттрактор системы (1) при
M
1
=
N
1
=
M
2
=
N
2
=
=
M
3
=
N
3
= 1
,
d
1
=
d
2
=
d
3
= 10
,
h
1
≈
0
,
4
,
h
2
≈
5
,
4
,
h
3
≈
2
,
7
,
s
1
= 0
,
s
2
≈ −
2
,
7
,
s
3
≈ −
0
,
7
,
M
= 0
,
N
= 1
,
a
= 14
,
b
=
−
0
,
5
,
А
= 10
,
В
= 9
,
C
= 0
,
3
показан на рис. 3,
а
. Характеристические показате-
ли Ляпунова при указанных значениях констант равны
λ
1
≈
0
,
014
,
λ
2 = 0
,
λ
3
≈ −
0
,
83
.
В вырожденном случае при
M
1
=
N
1
=
M
2
=
N
2
=
M
3
=
N
3
= 0
,
когда
H
1
(
x
) =
x
,
H
2
(
y
) =
y
,
H
3
(
z
) =
z
, уравнения (1) принимают вид
dx
dτ
=
f
(
x
+
y
+
z
) ;
dy
dτ
=
A
[
f
(
x
+
y
+
z
) +
z
−
Cy
] ;
dz
dτ
=
Bx
(2)
и описывают хаотические колебания, характеризующиеся аттрактором
с последовательным расположением бассейнов притяжения (рис. 3,
б
),
аналогичным аттракторам динамических систем [5, 6].
Изображение нелинейной функции
H
j
(
ξ
)
, соответствующей ат-
трактору на рис. 3,
а
, приведено на рис. 3,
в
.
Хаотический аттрактор динамической системы (1) является сово-
купностьюлокальных аттракторов первого ранга, отвечающих систе-
ме уравнений (2), каждый из которых состоит из нескольких (на рис. 3
— из трех) локальных аттракторов нулевого ранга. Полный аттрактор
имеет второй ранг.
Образование составного мультиаттрактора, показанного на рис. 3,
а
,
достигается заменой линейных переменных
х
,
у
и
z
в уравнениях
(2) линейно-дискретными (“редуплицирующими”) функциями
Н
1
(
x
)
,
Н
2
(
y
)
и
Н
3
(
z
)
в уравнениях (1).
При замене линейного аргумента линейно-дискретной функцией
Н
j
происходит разбиение фазового пространства на фрагменты, упо-
рядоченные вдоль соответствующей оси координат; внутри каждого
фрагмента воспроизводится область фазового пространства, содержа-
щая исходный хаотический аттрактор.
Если граница такого фрагмента фазового пространства пересекает
расположенный внутри него хаотический аттрактор, фазовые траек-
тории (теряющие, в случае уравнений (1), устойчивость в области
данного пересечения) получают возможность покинуть данный фраг-
мент фазового пространства и перейти в соседний — на содержащийся
внутри него аттрактор (см. рис. 1,
а
).
Частота переходов фазовых траекторий между локальными аттрак-
торами зависит главным образом от того, насколько большуюдолюат-
трактора отсекает указанная граница. Имеют значение также ширина
110
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 4
